Messunsicherheit und Fehlerrechnung

Messfehler

• Jede Messung ist nur eine Annäherung an den wahren Wert einer Größe.
• Dabei entstandene Messfahler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein. Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Bei einem systematischen, z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau verschieben sich die gemessenen Werte um einen Betrag. Sie sind schwer zu korrigiren. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik. Graphische Veranschaulich der Fehlertypen.

Angabe von Messfehlern

• Als absolute Angabe mit Einheiten: [math]l=2m (\pm 0,01m)[/math]
• Als relative Angabe ohne Einheiten: [math]l=2m (\pm 0,05)(\pm 0,5%)[/math]
• Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: [math]l=2,000m[/math]

Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern

• Dazu müssen eine möglichst große Anzahl von Messungen der gleichen Größe [math]x[/math] durchgeführt werden.

Gaußsche Glockenkurve

• Häufig kann man annehmen, dass die Messwerte normalverteilt sind, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen.
• Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts ([math]\bar x[/math]) und der Standardabweichung ([math]s[/math] oder [math]\sigma[/math]) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt die Stellen der Wendepunkte an.

[math]\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}[/math]

Gausskurve mit Vertrauengrenzen

• Die Standardabweichung gibt an, wie genau die Messung ist. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass der wahre Wert innerhalb dieses Bereichs liegt.

Maximale absolute Abweichung | Wahrscheinlichkeit
            s                |    68% (ca. 2/3)
          2 s                |    95%
        2,5 s                |    99%

Fehlerfortpflanzung

• Häufig werden eine oder mehrere fehlerbehaftete Ergebnisse verwendet, um ein Gesamterbegnis zu berechnen, das natürlich auch fehlerbehaftfet ist. Man spricht von Fehlerfortpflanzung.

Summen und Differenzen

• Die absoluten Fehler addieren sich.

Beispiel: Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu [math]0,2 mm (\pm 0,01mm)[/math] bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: [math]10mm (\pm 0,5 mm)[/math]

Produkte und Quotienten

• Die relativen Fehler addieren sich.

Beispiel: Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen: [math]s = 5 m (\pm 0,01 m) (\pm 0,002) (\pm 0,2%)[/math]

[math]t = 2 s (\pm 0,1 s) (\pm 0,05) (\pm 5%)[/math]

[math]v=\frac{s}{t}= 2,5 m/s (\pm 0,052)(\pm 5,2%)[/math]

Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoltuten Fehler zu berechnen.

Potenzen und Wurzeln

• Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.

Beispiel: Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.

[math]T = 2\Pi \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\Pi \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}[/math]

[math]l = 0,6m (\pm 0,1%)[/math]

[math]g = 9,81 m/s^2 (\pm 0,01%)[/math]

Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:

[math]T = 1,5539 s (\pm 0,055%)[/math]

In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!

Berechnete Größe: Resultierender absoluter Maximalfehler:

2.1 Fehlerfortpflanzung bei 

Regel: Addition der absoluten Fehler Berechnete Größe: Resultierender absoluter Fehler:

2.2 Fehlerfortpflanzung bei bildung

Regel: Addition der relativen Fehler Berechnete Größe: Resultierender relativer Fehler: 2.3 Fehlerfortpflanzung bei Potenzen Regel: Multiplikation des relativen Fehlers mit dem Exponenten. Berechnete Größe: Resultierender relativer Fehler:

ÜBUNG: Fehlerfortpflanzung 1. Summe und Differenz von Messfehlern

Schreibe die Formel für die Fehlerfortpflanzung für die Addition /Subtraktion von Größen mit Messfehlern.

Ein Objektträger habe die Dicke von 1mm ± 0,02 mm. Wir legen 22 Objektträger übereinander. Berechne die Höhe des Stapels von Objektträgern und gibt die Messunsicherheit an.

2. Produkt und Quotient von Messfehlern

Schreibe die Formel für die Fehlerfortpflanzung für Produkt und Quotient von Messfehlern.

Berechne die mittlere Geschwindigkeit und Beschleunigung für die Bewegung eines Körpers. v = s/t ........... a = v/t Zurückgelegte Strecke: s = 2340 m ± 3m Benötigte Zeit: t = 0,41 s ± 5 ms

3. Potenzen

Schreibe die Formel für die Fehlerfortpflanzung einer Potenzfunktion.

Berechne die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels: T = 2 p [L/g]^1/2

L = 1m ± 0,001 m g = (9,81 ± 0,005) m/s²

ÜBUNG: Mittelwert und Standardabweichung 1. Wiederholung der Formeln für arithmetische Mittelwert und Streuung. Schreibe die Formeln für den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung

2. Berechne aus den Messwerten der Körpergröße von 8 Personen den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung.

Messwerte: x1 = ........ x5 = ........ x2 = ........ x6 = ........ x3 = ........ x7 = ........ x4 = ........ x8 = ........

3. Wiederhole die Formel für den Vertrauensbereich des Mittelwertes

Eichung und Kalibrierung · Wird der Messfehler eines Messgerätes durch das Eichamt bestimmt, nennt man diesen Vorgang Eichen. Der so ermittelte Messfehler wird auch als Genauigkeit des Gerätes bezeichnet. · Wird der Messfehlers eines Gerätes bei einer Messung bestimmt, nennt man diesen Vorgang kalibrieren.

Quelle: Institut für Medizinische Physik und Biostatistik, Vet. Univ. Wien