Untersuchung einer harmonischen Federschwingung

Messungen bei einem Schwingmännchen und einem schwingenden Wagen

Eine Schwingprinzessin

Insbesondere interessiert uns, wie bei der Schaukel, die Frage wovon die Periodendauer, bzw. die Frequenz abhängen könnte:

• von der Masse der Figur?
• von der Amplitude?
• von der Feder?

Dazu verändern wir jeweils eine Größe, halten die anderen konstant und messen die Periodendauer.

Beim Wagen kann man gut noch andere Wagen draufstapeln und so die (träge) Masse vervielfachen.

Beim schwingenden Männchen kann man die Länge der Feder halbieren oder vierteln.

Ergebnisse

• Die Frequenz hängt nicht von der Amplitude ab. (Anders als bei der Schaukel!) Warum??
• Je größer die Masse der schwingenden Wagen, desto kleiner die Frequenz. Bei der vierfachen Masse halbiert sich die Frequenz: [math]f \sim \frac{1}{\sqrt{m}}[/math]
• Je kürzer die Feder, desto kleiner ist auch die Frequenz. Bei der vierfachen Federhärte (ein Viertel der Federlänge) verdoppelt sich die Frequenz: [math]f \sim \sqrt{D}[/math]

Durch Messungen kann man auch noch den Proportionalitätsfaktor finden. Er beträgt ungefähr 1/6:

[math]f = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]    Frequenz einer Federschwingung. Sie hängt nicht von der Amplitude ab.

Erklärungen

betrachtet die Größe der Rückstellkraft in Abhängigkeit vom Ort. Es fällt auf, dass die Kraft proportional zur Auslenkung ist. Eine Schwingung mit diesem Kraftverlauf nennt man auch harmonische Schwingung.

Mit einem Kraftmesser kann man die Gesetzmäßigkeit messen: Für die Wagen gilt: [math]F = 23 \frac{N}{m} \, y[/math] und für das Männchen: [math]F = 23 \frac{N}{m} \, y[/math]

• Warum die Frequenz von der Amplitude nicht abhängt, ist nicht mit einfachen Argumenten erklärbar. Eine Beschreibung der harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung oder durch die Lösung der Differentialgleichung liefert eine Begründung.

• größere Masse bei gleicher Kraftwirkung:

Entweder: gleiche Impulsänderung ([math]F=\dot p[/math]) bei größerer Masse führt zu kleineren Geschwindigkeiten bei gleichen Strecken.

Oder die größere Trägheit führt zu kleineren Beschleunigungen ([math]a=\frac{[/math]) und somit zu kleineren Geschwindigkeiten.

• Warum die Länge der Feder die Frquenz verändert ist aus ähnlichen Überlegungen heraus einleuchtend.

Zunächst verändert die Länge der Feder die Kraftwirkung bei gleicher Auslenkung auf das Männchen. Eine doppelt so lange Feder wird sich bei gleicher Kraftwirkung um die doppelte Strecke verlängern und im Umkehrschluss ist die Kraft bei gleicher Verlängerung nur halb so groß.

Gibt man

FREYA

Animation eines schwingenden Wagens

Bei dieser Animation kann man mit den Schiebereglern links die Länge der Feder und die Masse des Wagens einstellen.

Mit der Federlänge ändert sich auch die Federkonstante der Feder. Die Geogebradatei kann man hier herunterladen.

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