Zeigermodell und Wellengleichung einer ebenen harmonischen Welle
Im Falle einer räumlich unbegrenzten, linearen harmonischen Welle kann man die Welle relativ einfach beschreiben. In einer solchen Welle sind alle Schwingungen harmonisch und die Welle breitet sich nur längs einer Raumrichtung aus. Kugelwellen, Kreiswellen oder Zylinderwellen sind also keine solchen Wellen, ebene Wellen schon. Ausserdem werden räumlich begrenzte Wellenpakete ausgeschlossen.
Bei einer Welle regt eine Schwingung ihren Nachbarn in
Ausbreitungsrichtung zu erzwungenen Schwingungen an. Alle schwingen mit
der gleichen Frequenz. Die Schwinger hinken aber in
Ausbreitungsrichtung der ursprünglichen Schwingung hinterher, wodurch
sich eine Phasenverschiebung ergibt. Im Abstand einer halben
Wellenlänge beträgt sie gerade [math]\Pi[/math], so dass die Schwingungen gegenphasig sind, bei einer ganzen Wellenlänge sind es [math]2 \ \Pi[/math], womit die Schwingungen wieder in Phase sind.
Inhaltsverzeichnis
Zeigermodell
| Eine Schwingung wird durch einen rotierenden Zeiger dargestellt. Eine Welle wird durch eine Kette von Schwingungen, also auch durch eine Kette von Zeigern dargestellt. Die Zeiger haben eine Phasenverschiebung zum Nachbarzeiger, weil das "Signal" verzögert weitergegeben wird.
Sehr anschaulich gibt diese Idee eine Spirale wieder. Sobald sie sich dreht, sieht man eine Welle nach oben oder unten laufen, je nach Drehrichtung. Die einzelnen Holzstäbe sind dabei die Zeiger, die durch ihre Drehung von der Seite betrachtet die Schwingung an einem Ort beschreiben. Jedes Holzstäbchen wird zum Nachbarstäbchen ein bischen gedreht. (Genau genommen sieht man zwei Wellen, weil die Stäbchen zu lang sind.)
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Wellengleichung
Man stellt für alle beteiligten Schwinger eine Ortsfunktion auf. Da die Ortsfunktionen von der Position x abhängen, schreibt man [math]y_x(t)[/math] oder [math]y(x,t)[/math]. Alle Ortsfunktionen zusammen nennt man Wellengleichung.
Jede der einzelnen harmonischen Schwingungen hat die gleiche Frequenz und die gleiche Amplitude. Sie unterscheiden sich nur durch eine ortsabhängige Phasenverschiebung voneinander:
- [math]y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \varphi(x))[/math]
Eine Schwingung, die eine halbe Wellenlänge vom "Start" entfernt ist, hinkt gerade um [math]\Pi[/math] hinterher. Erst eine Schwingung, die eine ganze Wellenlänge vom "Start" entfernt ist, hinkt um [math]2 \ \Pi[/math] hinterher und ist damit wieder in Phase. Die ortsabhängige Phasenverschiebung beträgt also
- [math]\varphi(x) = \frac{2 \pi}{\lambda} x \qquad.[/math] (Der Bruch [math]\frac{2 \pi}{\lambda}[/math] wird auch als Wellenzahl bezeichnet.)
Mit [math]\omega = 2 \ \Pi \ f = \frac{2 \ \Pi}{T}[/math]folgt:
[math]y(x,t) = \hat y \, \sin(\omega t - \frac{2 \pi}{\lambda} x) = \hat y \, \sin\left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) \right)[/math] Wellengleichung einer linearen harmonischen Welle.
Beispiel
Es soll eine passende Gleichung für die drehende Windspirale aufgestellt werden.
Wir nehmen an, dass sie sich in der Sekunde zweimal dreht, der Radius beträgt drei Zentimeter und die Wellenlänge 13 Zentimeter. Dementsprechend gilt also:
- [math]f=2 \, Hz \ \ (\omega=2\Pi \cdot 2 Hz)\quad \hat y = 3 \, cm \quad \lambda=13\, cm[/math]
- [math]y(x,t) = 3\, cm \, \sin(4 \Pi \, \frac{1}{sec} \ t - \frac{2 \pi}{13\, cm} \ x) \approx 3\, cm \, \sin(12 \, \frac{1}{sec} \ t - 0,48 \frac{1}{cm} \ x)[/math]
Im Argument des Sinus beschreibt [math]12 \, \frac{1}{sec}[/math] wie sich der Zeiger mit der Zeit dreht und [math]- 0,48 \frac{1}{cm} \ x[/math] wie sich die Phase des Zeigers mit dem Ort verändert.
Links
- dynamische Arbeitsblätter zur Erarbeitung der Grundbegriffe der Wellenlehre (C. Wolfseher)
- Applet: Phasenzeiger einer Welle (Jörg Bogendörfer Didaktik der Physik Uni Erlangen)
