Zusammenfassung Kinematik

Um die Bewegung eines Körpers zu beschreiben vereinfacht man die Situation stark.

Oft betrachtet man einen Gegenstand auf einen Punkt, den Schwerpunkt konzentriert.

Meistens werden auch alle Rotationen des Körpers ausgeschlossen und nur Translationen im Raum betrachtet.

Beschreibung einer Situation

Die Ampel dient als Koordinatenursprung

Gebogenes Koordinatensystem für ein Fadenpendel

Wo ist der Körper?

Zur genaueren Beschreibung muss man ein Koordinatensystem festlegen. Dies kann geradlinig oder auch gebogen sein, wie im Falle eines Fadenpendels. Bei vielen Fällen reicht ein eindimensionales Koordinatensystem, bei dem sich der Körper nur nach vorne und hinten bewegen kann, aus. Mit einem negativen Vorzeichen wird eine Position vor dem Ursprung angegeben.

Das Koordinatensystem kann aber auch zwei- oder dreidimensional sein. Bei Bewegungen in der Fläche oder im Raum ist der Ort eine vektorielle Größe, die man als [math]\vec s[/math] notiert.

In diesem Koordinatensystem kann man nun die Position eines festen Punktes des Körpers, häufig des Schwerpunkts S, mit Hilfe von Koordinaten exakt angeben.

Wie schnell ist der Körper?

Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung des Ortes. ([math]\dot s[/math]) Bei einer eindimensionalen Bewegung wird die Richtung entgegen dem Koordinatensystem mit einem negativen Vorzeichen ausgedrückt. In der Fläche und im Raum ist die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe und wird als [math]\vec v[/math] notiert.

Bremst/beschleunigt der Körper?

Die Beschleunigung ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. [math]a = \dot v[/math] Im eindimensionalen gibt ein negatives Vorzeichen die Verringerung der Geschwindigkeit, also einen Bremsvorgang an. In der Fläche und im Raum ist sie auch eine vektorielle Größe und wird [math]\vec a[/math] geschrieben.

Beschreibung des zeitlichen Verlaufs

Wann ist der Körper wo?

Ordnet man jedem Zeitpunkt einem Ort zu, so erhält man das Ortsgesetz Datei:Mimetex 016.gif der Bewegung. Das Schaubild dieser Zuordnung ist das Ort-Zeit-Diagramm.

• Die Steigung einer Tangente des Schaubildes ist die Momentangeschwindigkeit Datei:Mimetex 005.gif des Körpers,
• die Sekantensteigung ist die mittlere Geschwindigkeit Datei:Mimetex.gif.

Wann ist der Körper wie schnell?

Ordnet man jedem Zeitpunkt der momentanen Geschwindigkeit zu, so erhält man das Geschwindigkeitsgesetz Datei:Mimetex 011.gif. Das Schaubild heisst Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm.

• Die Steigung einer Tangente im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist die momentane Beschleunigung Datei:Mimetex 008.gif,
• die Sekantensteigung ist die mittlere Beschleunigung Datei:Mimetex 013.gif

Flächen in Diagrammen

Die Flächen zwischen dem Schaubild und der Zeitachse lassen sich anschaulich interpretieren. Grundlage dazu ist der sogenannte Hauptsatz der Differential-Integralrechnung (HDI), den man in Worten so formulieren kann:

Integral über Datei:Mimetex 014.gif

Das Integral (die Fläche) unterhalb der Änderungsrate ergibt die Gesamtänderung. Dabei werden Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet.

Trägt man z.B. die zeitliche Änderungsrate der Energie (Leistung) über der Zeit auf, so entspricht die Fläche unterhalb des Schaubildes der Gesamtänderung der Energie.

Mit Hilfe des GTRs kann man Flächen unter Schaubildern numerisch bestimmen. (Genauere Beschreibung hier.)

Übertragen auf die Beschreibung von Bewegungen bedeutet das:

• Die Fläche unterhalb des Geschwindigkeit-Schaubildes entspricht der Ortsänderung, also der zurückgelegten Strecke.

• Die Fläche unterhalb des Beschleunigungs-Schaubildes entspricht der Geschwindigkeitsänderung.

Spezielle Bewegungstypen

Die Gleichförmige Bewegung

• Hierbei bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit, der Ort ändert sich gleichmäßig.
• Im Ort-Zeit-Diagramm ist das Schaubild eine (Ursprungs-)Gerade.
• Die Bewegunggesetze sind:

der Körper ist zum Zeitpunkt t=0 im Koordinatenursprung:

Datei:Mimetex 010.gif,

im allgemeinen Fall:

Datei:Mimetex 017.gif,

Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

• Hierbei ist die Beschleunigung konstant, die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig zu oder ab.
• Im Ort-Zeit-Diagramm ist das Schaubild eine Parabel.
• Die Bewegungsgesetze sind:

der Körper ist zum Zeitpunkt t=0 im Koordinatenursprung und in Ruhe:

im allgemeinen Fall:

Überlagerung und Zerlegung von Bewegungen

Vektoraddition von Geschwindigkeiten

• Applet mit einem Boot, das einen Fluss überquert. (B. Surendranath)

Zerlegung von mehrdimensionalen Bewegungen

• Der waagrechte oder schräge Wurf als Applet. (W. Fendt)

Verschiedene Bezugssyteme

Relativität

• Relative Sichtweisen der gleichen Bewegungen auf einem Fluss.

Alt

• Ort [math]\vec s[/math] Wo ist der Körper? (sein Schwerpunkt oder eine andere fixe Stelle?) Pro Raumrichtung eine Koordinate oder auch ein krummliniges Koordinatensystem, z.B. bei einer Kreisbewegung. Im Raum ist der Ort auch eine vektorielle Größe.
• Die Geschwindigkeit [math]\vec v[/math] ist die zeitliche Änderung des Ortes und ist eine vektorielle Größe.
• Die Beschleunigung [math]\vec a[/math] ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit und ist eine vektorielle Größe.

• Häufig hat man ein eindimensionales Koordinatensystem und man muss daher nicht mit Vektoren rechnen.

• Orts-Zeit-Diagramm Ortsgesetz [math]s(t)[/math] Wann ist der Körper wo? Steigung ist die Momentangeschwindigkeit, Sekantensteigung ist die mittlere Geschwindigkeit.

[math]v(t)=\dot s(t)[/math]

[math]\bar v = \triangle s / \triangle t[/math]

• Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm Geschwindigkeitsgesetz v(t) Wann ist der Körper wie schnell? Steigung ist die momentane Beschleunigung a=dtv/dt, Sekantensteigung ist die mittlere Beschleunigung delta v/ delta t

• Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung)
• Bewegung mit konstanter Beschleunigung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung)

• Verschiedene Bezugssysteme/Koordinatensysteme Vektoraddition von Geschwindigkeiten