Aufgaben zu Antrieb und Widerstand (Das Ohmsche Gesetz) - Lösungen

Drei verschiedene Glühlämpchen.

1) Kennlinien von elektrischen Bauteilen

Von zwei Lämpchen und einer Bleistiftmine aus Graphit hat man die Kennlinien gemessen. Lämpchen 1 hat im Sockel die Angabe [math]4\,\rm V/400\,\rm mA[/math] und Lämpchen 2 hat [math]12\,\rm V/400\,\rm mA[/math] eingeprägt.

a) Das Lämpchen 1 hat die gestrichelte, blaue Kennlinie. Bei der maximalen Spannung von 4 Volt fließen 0,4 Ampère, wie angegeben. Lämpchen 2 hat die durchgezogene, rote Kennlinie. Durch das Lämpchen fließt bei der maximalen Spannung von 12 Volt ein Strom der Stärke 0,4 Ampère.

Die gepunktete Linie hat eine andere Krümmung als die Kennlinien der Lämpchen. Das liegt daran, dass der Glühdraht der Lämpchen ein Kaltleiter ist und Graphit ein Heissleiter. Der Widerstand der Lämpchen nimmt mit steigender Temperatur zu, der Widerstand der Graphitmine nimmt mit steigender Temperatur ab.

b) Wenn an der Mine eine Spannung von 10 Volt anliegt, fließt durch sie ein Strom der Stärke von ca. 0,37 Ampère.

c) Die anliegende Spannung ist gleich. Je größer die Stromstärke, desto kleiner der Widerstand:

Lämpchen 1: [math]R_1=\frac{U}{I}=\frac{4\,\rm V}{0{,}4\,\rm A}=10\,\rm \Omega[/math]. Lämpchen 2: [math]R_2=\frac{U}{I}=\frac{4\,\rm V}{0{,}23\,\rm A}=17\,\rm \Omega[/math]. Graphitmine: [math]R_{Graphit}=\frac{U}{I}=\frac{4\,\rm V}{0{,}16\,\rm A}=25\,\rm \Omega[/math].

2) Der Widerstand als Bauteil im Stromkreis

Verschiedene Bauformen von Widerständen.

Ein Widerstand wird in einem Schaltplan als Rechteck gezeichnet.

Wickelt man einen langen, dünnen Draht eng auf und umschließt ihn mit einem festen Material, so erhält man ein elektrisches Bauteil, dass die Stromstärke vermindern kann. Dieses Bauteil nennt man einen "Widerstand".
Das Wort "Widerstand" hat also zwei Bedeutungen: Entweder ist damit die physikalische Größe [math]R[/math] gemeint, also der Quotient von Spannung und Stromstärke, oder ein Bauteil, dass ich in die Hand nehmen kann. Das Material des Drahtes im Widerstand (Bauteil) ist so gewählt, dass der Widerstand (physikalische Größe [math]R[/math]) nicht von der Temperatur abhängt.

a) Ist der Widerstand konstant, so gilt das "Ohmsche Gesetz". (Nach Georg Simon Ohm)

b) Legt man an einen Widerstand von 10 Ohm eine Spannung von 3 Volt an, so fließen 0,3 Ampère:

[math]I=\frac{U}{R}=\frac{3\,\rm V}{10\,\rm \Omega}=0{,}3\,\rm A[/math].

c) Weil das Ohmsche Gesetz gilt, muss man für die doppelte Stromstärke die doppelte Spannung anlegen. Man kann es aber auch nachrechnen:

[math]U= R\cdot I = 10\,\rm \Omega \cdot 0{,}6\,\rm A = 6\,\rm V[/math].

Will man eine Stromstärke von 2 Ampère erreichen, braucht man eine noch größere Spannung:

[math]U= R\cdot I = 10\,\rm \Omega \cdot 2\,\rm A = 20\,\rm V[/math].

3) Gefahren durch elektrischen Strom

kommt noch...

4) Eine Sicherung

In jedem Haushalt befindet sich ein Sicherungskasten. Für jeden Raum oder Flur gibt es eine eigene Sicherung. Für den Elektroherd gibt es sogar eine zusätzliche Sicherung. Bei einer zu großen Stromstärke, in der Regel ab 16 Ampère, "fliegt die Sicherung raus".

a) Die Sicherung verhindert, dass ein sehr großer Strom durch die Kabel fließt. Ein zu großer Strom kann ein Kabel erhitzen und im Extremfall sogar schmelzen. Dadurch werden die Leitungen oder Schalter zerstört und es können Brände entstehen.

b) Die Spannung an der Steckdose beträgt 230 Volt. Durch den Wasserkocher fließt daher ein Strom der Stärke:

[math]I=\frac{U}{R}=\frac{230\,\rm V}{26\,\rm \Omega}=8{,}8\,\rm A[/math].

Die Sicherung springt also noch nicht raus!

5) Falsch angeschlossen

Schließt man das Lämpchen mit der Aufschrift [math]4\,\rm V/250\,\rm mA[/math] versehentlich an eine Spannung von 12 Volt an, so wird ein zu großer Strom fließen, der Glühdraht wird sehr stark erhitzt und das Lämpchen dabei zerstört.

6) Zwei Lämpchen parallel schalten

a)

b) Das Potential fällt nur an den Lämpchen ab, an den Verzweigungen ändert es sich nicht.

c) Weil an beiden Lämpchen eine Spannung (Potentialdifferenz) von 4 Volt anliegt, fließt auch durch beide Lämpchen der Strom mit der auf der Fassung eingeprägten Stärke. An den Verzweigungen teilt sich der Strom, bzw. er fließt wieder zusammen.

d) Der Widerstand ist der Quotient von Spannung und Stromstärke:

[math]R_1=\frac{U_1}{I_1}=\frac{4\,\rm V}{0{,}500\,\rm A}= 8\,\rm \Omega[/math]

[math]R_2=\frac{U_2}{I_2}=\frac{4\,\rm V}{0{,}250\,\rm A}= 16\,\rm \Omega[/math]

Bei dem halben Widerstand fließt auch der doppelte Strom, weil die Spannung gleich groß ist.

e) An den beiden Lämpchen liegt eine Spannung von 4 Volt. Zusammen fließt durch sie eine Strom der Stärke 0,750 Ampère. Der sogenannte "Ersatzwiderstand" beträgt daher:

[math]R=\frac{U}{I}=\frac{4\,\rm V}{0{,}750\,\rm A} = 5{,}33\,\rm \Omega[/math]

Der gemeinsame Ersatzwiderstand ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand! Das ist verständlich, wenn man die Situation auf das Trinken mit Strohhalmen überträgt. Verwendet man zu einem dicken Strohhalm gleichzeitig noch einen dünnen Strohhalm, so wird der Widerstand dadurch sinken. Jede zusätzliche parallele Leitung senkt den Widerstand!

7) Zwei Lämpchen in Reihe schalten

a)

b) Das Potential steigt an der Batterie an und fällt an den Lämpchen ab. (Noch kennt man keine Zahlenwerte!)

c) Den Widerstand der Lämpchen hat man ja schon in der Aufgabe mit der Parallelschaltung berechnet:

[math]R_1= 8\,\rm \Omega[/math]

[math]R_2= 16\,\rm \Omega[/math]

d) Man weiß, dass durch beide Lämpchen ein Strom der Stärke 0,250 Ampère fließt. Wenn man annimmt, dass das Ohmsche Gesetz gilt, dann bleibt der Widerstand konstant und man kann die an den Lämpchen anliegende Spannung berechnen:

[math]U_1=R_1\cdot I_1 = 8\,\rm \Omega \cdot 0{,}25\,\rm A = 2\,\rm V[/math]

[math]U_2=R_2\cdot I_1 = 16\,\rm \Omega \cdot 0{,}25\,\rm A = 4\,\rm V[/math]

An dem kleinen Widerstand fällt das Potential weniger ab als am großen Widerstand!

Nun kann man auch die Potentialgebiete beschriften.

e) Am Netzgerät liegt eine Spannung von 6 Volt an.

f) An den beiden Lämpchen liegt zusammen eine Spannung von 6 Volt an. Durch sie fließt ein Strom der Stärke 0,250 Ampère. Der sogenannte "Ersatzwiderstand" beträgt daher:

[math]R=\frac{U}{I}=\frac{6\,\rm V}{0{,}250\,\rm A} = 24\,\rm \Omega[/math]

Der gemeinsame Widerstand ist gerade die Summe der Einzelwiderstände! Beide Widerstände "bremsen den Stromfluß" gemeinsam.

Das Ergebnis gilt allgemein:

Bei einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstände: [math]R=R_1+R_2+\dots[/math]