Aufgaben zum elektrischen Feld (Lösungen)

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Zum Kondensator

1) Ein mechanischer Vergleich

Vergleichen Sie einen Kondensator mit einem Fahrradreifen.

Diesen Vergleich kann man hier nachlesen.

2) Bauformen

Beschreiben Sie eine technische Bauform eines Kondensators.

(Wikipedia: Bauformen von Kondensatoren, Bilder, ...)

3) Kennlinie

Der Kondensator speichert maximal ca. 1,7C Ladung und 4J Energie.

Ein idealer Kondensator hat eine Kapazität von 0,33F bei maximal 5V Spannung. Zeichnen Sie die U(Q)-Kennlinie. Lesen Sie an der Kennlinie ab wieviel Ladung und Energie der Kondensator maximal aufnehmen kann.

Das Schaubild des U(Q)-Diagramms ist eine Ursprungsgerade. Die maximale Spannung beträgt 5V, die maximale Ladung [math]Q=C\,U=\mathrm{0{,}33 \,F \cdot 5 \,V = 1{,}65\,C}[/math].

Die Energiemenge entspricht der Dreiecksfläche unter dem Schaubild: [math]E=\mathrm{\frac{1}{2}\cdot 1{,}65C\cdot 5\,V = 4{,}125\,J}[/math]

4) Dielektrikum

Wie verändert ein Dielektrikum die Eigenschaften eines Kondensators? Was bedeutet [math]\epsilon_r=3[/math]?

Das kann man hier ausführlich nachlesen oder in der Kurzfassung.

5) Plattenkondensator mit und ohne Dielektrikum

Berechnen Sie für einen Plattenkondensator mit kreisförmigen Platten (r=12,25cm) im Abstand von 1cm die Kapazität mit Luft im Zwischenraum.

Der Kondensator wird mit 10kV geladen. Berechnen Sie:

a) wie stark das elektrische Feld ist,

b) wieviel Ladung auf den Platten ist,

c) wieviel Energie gespeichert ist und

d) welche Kraft auf die Platten wirkt.

e) Nun füllt man den Zwischenraum des Kondensators mit Polytetrafluorethylen (Teflon). Es hat eine Permittivität von [math]\epsilon_r= 2[/math]. Dann lädt man den Kondensator wieder mit 10kV auf. Berechnen Sie, wie sich die Werte von a) bis d) verändern und wie sich die Energie auf das Feld und das polarisierte Teflon verteilt.

Die Kapazität kann man nur direkt über die Eigenschaften des Kondensators berechnen, weil man die gespeicherte Ladung noch nicht kennt:

[math]C= \epsilon_0\,\frac{A}{d} = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} \cdot \frac{\pi \cdot (0{,}1225\,\rm m)^2}{0{,}01\,\rm m} \approx 4{,}17 \cdot 10^{-11} \,\rm F = 41{,}7 \cdot 10^{-12} \,\rm F = 41{,}7 \,\rm pF [/math]

a) Die Feldstärke ist die räumliche Änderungsrate des Potentials:

[math]E=\frac{U}{d} = \rm \frac{10^4\,\rm V}{0{,}01\,\rm m} = 10^6\,\rm\frac{V}{m} [/math]

b) Die Ladungsmenge bestimmt man am einfachsten mit der Kapazität oder über die Ladung als Quellenstärke:

[math]Q=C\,U = 41{,}7 \cdot 10^{-12} \,\rm F \cdot 10^4\,\rm V = 41{,}7 \cdot 10^{-8} \,\rm C = 417 \cdot 10^{-9} \,\rm C = 417\,\rm nC [/math]

[math]Q=\epsilon_0 \, E \, A = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} \cdot 10^6\,\rm\frac{V}{m} \cdot \pi \cdot (0{,}1225\,\rm m)^2 \approx 4{,}17 \cdot 10^{-7} \,\rm C [/math]

c) Die Energie kann man nun auf verschiedene Weise berechnen:

[math]W=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{Q^2}{2\ C} = \frac{1}{2}\, C \, U^2 = 2{,}09 \cdot 10^{-3} \,\rm J \approx 2\, \rm mJ[/math]

d) Zur Berechnung der Kraft auf die Platten hat man viele Möglichkeiten. Am einfachsten ist es über die gespeicherte Energie:

[math]F=\frac{1}{2} \, Q \, E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \,A\,E^2 = \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,A} = \frac{W}{d} = \frac{2{,}09 \cdot 10^{-3} \,\rm J }{5 \cdot 0{,}01\,\rm m} = 0{,}209 \,\rm N \approx 0{,}2\,\rm N[/math]

e) Die Kapazität des Kondensators ist nun 2 mal größer als vorher:

[math]C = \epsilon_0\,\epsilon_r\,\frac{A}{d} = \frac{Q}{U} = 2 \cdot 41{,}7 \,\rm pF = 83{,}4\, pF[/math]

Die Feldstärke ist unverändert, weil wieder die gleiche Spannung beim gleichen Plattenabstand anliegt:

[math]E=\frac{U}{d} = \rm \frac{10^4\, \rm V}{0,01\,\rm m} = 10^6\rm \frac{V}{m} [/math]

Zur Berechnung der Ladungsmenge muß man berücksichtigen, dass die Kapazität sich verdoppelt hat, also speichert der Kondensator auch 2 mal so viel Ladung. Man kann auch argumentieren, dass man 2 mal soviel Ladung verschieben muss, um die gleiche Feldstärke zu erreichen, da die Polarisationsladungen die effektive Gesamtladung und damit die Feldstärke verringern:

[math]Q=C\,U = 2 \cdot 417 \,\rm nC = 834\,\rm nC[/math]

Der Kondensator speichert 2 mal so viel Energie, denn die Spannung ist unverändert, Ladung und Kapazität sind aber 2 mal so groß:

[math]W=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{1}{2}\, C \, U^2 = 2 \cdot 2{,}09 \,\rm mJ =4{,}18 \, \rm mJ[/math]

Weil die Feldstärke gleich geblieben ist, hat sich die im Feld gespeicherte Energie nicht geändert:

[math]W_{Feld} = 2{,}09 \,\rm mJ[/math]

Zusätzlich kommt jetzt noch die im polarisierten Teflon gespeicherte Energie hinzu, die 1/2 der Gesamtenergie ausmacht. Es wird also genausoviel Energie im Teflon gespeichert wie im Feld:

[math]W_{pol} = 2{,}09 \,\rm mJ[/math]

Bei der Kraftwirkung auf die Platten ist die Feldstärke und die Ladungsmenge entscheidend. Die Feldstärke ist unverändert, aber die Ladung auf den Platten ist 2 mal größer. Daher ist auch die Kraft auf die Platten 2 mal größer.
Man kann auch argumentieren, dass die Energiemenge auf das 2fache gestiegen ist.

[math]F=\frac{1}{2} \, Q \, E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \, \epsilon_r \,A\,E^2 = \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,\epsilon_r\,A} = \frac{W}{d} = 2\cdot 0{,}209 \,\rm N = 0{,}418 \,\rm N[/math]

6) Kondensatoren statt Benzin

Ein Liter Benzin enthält ca. 30 MJ Energie. Welcher Kondensator könnte das Benzin als Energieträger ersetzen?
Baut man einen Plattenkondensator mit Luft zwischen den Platten, so springt ab einer Feldstärke von 2,5 kV/mm ein Funke über und der Kondensator ist entladen.

a) Entwerfen Sie einen Plattenkondensator, der die gleiche Energiemenge wie ein Liter Benzin speichern kann. (Tipp: Berechnen Sie zuerst die maximale Energiedichte des Kondensators! Dann legen Sie die Spannung fest und berechnen damit den Abstand und die Fläche.)

Die Energiedichte ist proportional zum Quadrat der Feldstärke. Die maximale Energiedichte erreicht man in Luft also bei [math]E=2{,}5\,\rm kV/mm = 2{,}5\,\rm MV/m [/math]:

[math]\rho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} \cdot (2{,}5\cdot 10^6\,\rm \frac{V}{m})^2 \approx 27{,}7\,\rm \frac{J}{m^3} = 27{,}7 \cdot 10^-3 \,\rm \frac{J}{l} = 27{,}7 \,\rm \frac{mJ}{l}[/math]

Statt 30 MJ/l enthält das elektrische Feld nur frustrierend wenig Energie, nämlich ungefähr ein Milliardstel der Energie des Benzins. Dementsprechend muss das Volumen des Kondensators ca. eine Milliarde Liter, also eine Million Kubikmeter betragen! Oder genauer:

[math]\rho_{el} = \frac{W}{V} \quad\Rightarrow\quad V=\frac{W}{\rho_{el}}=\frac{30\,\rm MJ}{27{,}7 \cdot 10^-3 \,\rm \frac{mJ}{m^3}} = 1{,}085\cdot 10^{6}\,\rm m^3 = (103\,\rm m)^3[/math]

Für dieses große Volumen bräuchte man bei einem Plattenabstand von 1cm eine Fläche von:

[math]A = \frac{V}{d} = \frac{1{,}085\cdot 10^{6}\,\rm m^3}{0{,}01\,\rm m} \approx 10^{8}\,\rm m^2 \approx (10\,\rm km)^2[/math]

Das entspricht in etwa der Fläche einer mittelgroßen Stadt wie Mainz. Offensichtlich ist es also unmöglich in einem luftgefüllten Kondensator nur annähernd soviel Energie speichern, wie es für eine Autofahrt nötig wäre. Deshalb muss man versuchen mit Dielektrika die Energiedichte zu erhöhen.

b) Um die Durchschlagsfestigkeit (das ist die maximale Feldstärke) des Kondensators zu erhöhen, bringt man ein Dielektrikum zwischen die Platten. Entwerfen Sie für die verschiedenen Dielektrika wieder einen Kondensator, der 30MJ Energie aufnehmen kann!

Die maximale Energiedichte berechnet sich mit: [math]\rho_{max}=\frac{1}{2} \,\epsilon_0 \,\epsilon_r \,E_{max}^2[/math]. Das Verwenden von Dielektrika bietet gleich zwei Vorteile:

• Bei gleicher Feldstärke speichert man durch die zusätzlich im polarisierten Dielektrikum gespeicherte Energie [math]\epsilon_r[/math]-mal so viel Energie.
• Man kann eine größere Feldstärke erreichen.

Dielektrikum	[math]\epsilon_r[/math]	[math]E_{max}[/math]	[math]\rho_{el}[/math]		Volumen für 30MJ	Fläche bei d=1cm
Luft	[math]1[/math]	[math]2{,}5\,\rm\frac{kV}{mm}[/math]	[math]27{,}7\,\rm\frac{J}{m^3}[/math]	[math]27{,}7\,\rm\frac{mJ}{l}[/math]	[math]10^6\,\rm m^3 = (100\,\rm m)^3[/math]	[math]10^8\,\rm m^2 = (10\,\rm km)^2[/math]
Glas	[math]7[/math]	[math]20\,\rm\frac{kV}{mm}[/math]	[math]12{,}4\cdot 10^3\,\rm\frac{J}{m^3}[/math]	[math]12{,}4\,\rm\frac{J}{l}[/math]	[math]2400 \,\rm m^3 \approx (13\,\rm m)^3[/math]	[math]240.000 \,\rm m^2 \approx (500\,\rm m)^2[/math]
Polypropylen (PP)	[math]2{,}1[/math]	[math]52\,\rm\frac{kV}{mm}[/math]	[math]25{,}1\cdot 10^3\,\rm\frac{J}{m^3}[/math]	[math]25{,}1\,\rm\frac{J}{l}[/math]	ca. [math]1000\,\rm m^3 = (10\,\rm m)^3[/math]	[math]100.000 \,\rm m^2 \approx (320\,\rm m)^2[/math]
Bariumtitanat	[math]1000[/math] bis [math]10000[/math]	[math]500\,\rm\frac{kV}{mm}[/math]	[math]1{,}11\cdot 10^9\,\rm\frac{J}{m^3}[/math] bis [math]11{,}1\cdot 10^9\,\rm\frac{J}{m^3}[/math]	[math]1{,}11\,\rm\frac{MJ}{l}[/math] bis [math]11{,}1\,\rm\frac{MJ}{l}[/math]	[math]3\,\rm l[/math] bis [math]27\,\rm l[/math]	[math]3 \,\rm m^2 \approx (1{,}7\,\rm m)^2[/math] bis [math]27 \,\rm m^2 \approx (5{,}2\,\rm m)^2[/math]

Die Energiedichte mit Glas oder dem Kunststoff PP ist schon wesentlich größer mit Luft, aber immer noch ein Millionstel mal kleiner als die von Benzin!

Nur die spezielle Keramik Bariumtitanat ist in der Lage ähnlich viel Energie zu speichern, nämlich bis zu ca. 10MJ pro Liter. Solche Dielektrika verhalten sich ähnlich wie Eisen in einem Magnetfeld und werden deshalb auch "Ferroelektrika" genannt. Die praktische, technische Umsetzung in "Superkondensatoren" ist nicht einfach und auch eine Kostenfrage, weshalb in diesem Gebiet weiter geforscht wird. Die Uni Halle-Wittenberg hat z.B. ein Forschungsprojekt dazu.

Legt man den Plattenabstand fest, kann man die passende Fläche mit [math]A=\frac{V}{d}[/math] ausrechenen. In der Praxis versucht man den Plattenabstand möglichst klein zu machen, damit die maximale Spannung nicht so groß ist. Mit dem Bariumtitanat erreicht man Plattenabstände von nur einem Hundertstel mm. Die Spannung beträgt dann maximal 5000 Volt.

7) Plattenziehen I

Ein aufgeladener Plattenkondensator wird von der Spannungsquelle getrennt und die Platten auseinandergezogen.

a) Wie verändert sich die Spannung, die Ladungsmenge auf den Platten und die Kapazität?

b) Wie verändert sich die Feldstärke und der Energiegehalt?

c) Wo kommt die nötige Energie her?

Dieser Versuch ist im Artikel über die Energie des elektrischen Feldes ausführlich beschrieben. Deshalb stehen hier die Antworten ohne Begründung.

Man kann ihn mit der Animation des Plattenkondensators auch nachvollziehen.

a) Die Ladung auf den Platten bleibt gleich, die Spannung steigt und somit verringert sich die Kapazität.

b) Die Feldstärke bleibt ebenso gleich, der Energiegehalt steigt.

c) Die benötigte Energie kommt aus dem Mensch, der die Platten auseinander zieht.

8) Plattenziehen II

Bei dem Plattenkondensator bleibt beim Auseinanderziehen diesmal die Spannungsquelle angeschlossen. Man stellt sich die gleichen Fragen:

a) Wie verändert sich die Spannung, die Ladungsmenge auf den Platten und die Kapazität?

b) Wie verändert sich die Feldstärke und der Energiegehalt?

c) Wo kommt die nötige Energie her, bzw. wo geht sie hin?

Auch dieses Experiment kann man mit der Animation des Plattenkondensators nachvollziehen. Dazu läßt man die Spannungsquelle angeschlossen und ändert den Abstand.

WICHTIG: Die angeschlossene Spannungsquelle hält die Spannung konstant!

a) Durch den größeren Abstand verkleinert sich die Kapazität, denn sie ist antiproportional zum Plattenabstand:

[math]C= \epsilon_0 \, \frac{A}{d}[/math]

Bei kleinerer Kapazität und gleicher Spannung muss die Ladung auf den Platten abgenommen haben:

[math]C= \frac{Q}{U} \quad\Rightarrow\quad Q=C\,U[/math]

b) Bei kleinerem Abstand und gleicher Spannung sinkt die Feldstärke:

[math]E= \frac{U}{d}[/math]

Die Energie hat (trotz des Auseinanderziehens!) abgenommen, denn Ladung und Kapazität sind kleiner geworden:

[math]W= \frac{1}{2}\frac{Q}{U} = \frac{1}{2} \, C \, U^2[/math]

Erstaunlicherweise nimmt die Kondensator-Energie ab, obwohl der Mensch beim Auseinanderziehen sogar Energie hineinsteckt, denn man muss ja mit einer Kraft längs eines Weges ziehen.

Die Energie kann nur durch die Spannungsquelle "verschwunden" sein. Während der Abnahme der Ladung fließt ein Strom durch die Spannungsquelle in der "umgekehrten" Richtung vom hohen zum niedrigen Potential. Dadurch erhält die Spannungsquelle Energie.

Das heißt, der Mensch und das elektrische Feld treiben beim Auseinanderziehen zusammen die Generatoren irgendwelcher Kraftwerke an, bzw. unterstützen sie!

ZEUGS

Hinweise und Lösungen

Grundlagen

• Entweder mit einem geladenen Probekörper (Monopol) oder mit influenzierten, neutralen Körpern (Dipolen). In beiden Fällen ergibt sich je nach Situation eine Kraftwirkung.

Flächenladungsdichte und erste Maxwellsche Gleichung

• Die Feldstärke nimmt proportional zu [math]\frac{1}{r}[/math] ab: [math]E=\mathrm{c}\cdot\frac{1}{r}[/math] (Vgl. Feld eines geladenen langen Drahtes)

Demnach hat das Potential die Form [math]\varphi(r)=\mathrm{c} \cdot \ln(r)[/math].

Mit [math]\mathrm{\varphi(0,0005m)=10kV}[/math] kann man die Konstante c bestimmen.