Das Oszilloskop

(Kursstufe > Das elektrische Feld)

Schema

1. Die Elektronen werden beschleunigt.
2. Die Elektronen bewegen sich mit einer konstanten Geschwindigkeit.
3. Die senkrechte Geschwindigkeitskomponente nimmt konstant zu. Die horizontale bleibt konstant. Die Elektronen bewegen sich auf einer Parabel ähnlich dem waagrechten Wurf.
4. Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

• Ein geladenes Teilchen ist ein Probekörper im elektrischen Feld, es erfährt eine Kraftwirkung, bzw. das Feld zieht, drückt es in eine Richtung.

• Die Richtung der Feldstärke ist mit einem positiv geladenen Probekörper definiert, weshalb das Elektron eine Kraft gegen die Feldstärkerichtung erfährt!

• Die Stärke der Kraft ist von der Ladung $$e$$ des Elektrons und der Feldstärke $$E$$ abhängig:

$$F = Q\, E = e \, E$$

• Das elektrische Potential gibt an, wieviel potentielle Energie ein positiver Probekörper pro Ladung hat. Wegen der negativen Ladung hat daher ein Elektron an einem Ort mit dem Potential von 100V mehr potentielle Energie als an einem Ort von 200V.

(Aus dem "Potentialberg" eines Protons wird dann das "Potentialtal" des Elektrons.)

• Die Summe von potentieller Energie und Bewegungsenergie ist immer konstant.

Rechnerische Behandlung

Hier werden drei Fragen behandelt:

1. Wieviel Bewegungsenergie haben die Elektronen?
2. Wie schnell sind die Elektronen?
3. Wie hängt die Ablenkung der Elektronen mit der angelegten Spannung zusammen?

Bewegungsenergie der Elektronen

Beim Beschleunigen erhalten die Elektronen Bewegungsenergie aus dem Feld. Die Feldenergie nimmt also ab, was allerdings durch die angeschlossene Spannungsquelle sofort wieder ausgeglichen wird. Wieviel Energie die Elektronen erhalten, kann man an der Potentialdifferenz ablesen, sie gibt an, wieviel Joule Energie pro Coulomb Ladung abgegeben werden:

$$W_{ges} = W_{pot}+W_{kin} = Q\,U + \frac{1}{2} \,m\,v^2 \quad \left( = Q\,U + \frac{p^2}{2\,m} \right)$$

Setzt man das Nullniveau der potentiellen Energie an die Glühwendel, so ist zu Beginn die Summe der Energien gerade Null, sie bleibt also auch immer Null:

$$0 = W_{pot}+W_{kin} \quad \Rightarrow -Q\,U = \frac{1}{2} \,m\,v^2$$

Fällt das Elektron eine Potentialdifferenz von 1V herunter, dann erhält es die Energie von einem "Elektronenvolt":

$$W = e \cdot 1\,\rm V = 1\,\rm eV \approx 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\rm J$$

Geschwindigkeit der Elektronen

$$E_{el} = E_{kin} \qquad \Leftrightarrow \qquad e \, \triangle \varphi = \frac{1}{2} m v^2_0 \qquad \Leftrightarrow \qquad v_0 = \sqrt{\frac{2\, e\, U_x}{m}}$$

Bei einer Beschleungungsspannung von 4000 Volt erreichen die Elektronen immerhin ca 10% der Lichtgeschwindigkeit!

Bewegung im Ablenk-Kondensator

Die Bewegung verläuft wie ein waagrechter Wurf:

In x-Richtung ist die Geschwindigkeit konstant.

In y-Richtung ist die Beschleunigung konstant:

$$v_x= v_0 \quad \ \ \ x=v_0 \, t$$

$$v_y= a \, t \qquad y=\tfrac{1}{2}\, a \, t^2$$

Die Geschwindigkeit in x-Richtung haben wir schon aus der Beschleunigungsspannung berechnet. Nur die Beschleunigung in y-Richtung fehlt noch. Man erhält sie über die Feldstärke E des Ablenk-Kondensators:

$$F= e E = m a \quad \Rightarrow \quad a=\frac{e\, E}{m}$$

Die Feldstärke läßt sich über die Änderung des Potentials berechnen. Mit $$E = {U_y \over d}$$ ergibt sich: $$a = {e \, U_y \over m\, d}$$

Nun kann man die Ergebnisse für $$v_0$$ und $$a$$ einsetzen:

$$v_x = \sqrt{\frac{2\, e\, U_x}{m}} \quad \ \ \ x = \sqrt{\frac{2\, e\, U_x}{m}}\ t$$

$$v_y = {e \, U_y \over m\, d} \, t \qquad y =\frac{1}{2} {e \, U_y \over m\, d} \, t^2$$

Punkt $$P(x_p | y_p)$$ bestimmen

Bekannt ist die Breite $$l$$ des Ablenkkondensators und die Spannungen an den Kondensatoren. Zunächst kann man die Zeit berechnen in der ein Elektron durch den Kondensator fliegt:

$$t_p$$  : Zeit im Ablenkkondensator bis P

$$x_p = l = v_0 t_p \quad \Rightarrow \quad t_p \ = {l \over v_0} = \frac{l}{\sqrt{\frac{2\, e\, U_x}{m}}}$$

Daraus ergibt sich die Ablenkung in y-Richtung:

$$\begin{array}{lcl} y_p &=& \frac{1}{2}\, a \, t_p^2 \\ &=& \dfrac{1}{2} \, \dfrac{e \, U_y}{m\, d } \, \dfrac{l^2}{v^2_0} \end{array}$$

Und mit $$\ v^2_0 = \frac{ 2\, e \, U_x}{m}$$ folgt :

$$\begin{array}{lcl} y_p &=& \dfrac{1}{2} \, \dfrac{e \, U_y}{m \, d\,} \ \dfrac{l^2 \, m}{2 \, e\, U_x} \\ &=& \dfrac{l^2}{4\, d} \, \dfrac{U_y}{U_x} \end{array}$$
Es ist bemerkenswert, das die Ablenkung nicht von der Ladung und auch nicht von der Masse des Elektrons abhängt!

Außer von den Abmessungen hängt die Ablenkung nur vom Verhältnis der Spannungen ab.

Berechnung von Q

Zur Berechnung des Auftreffpunktes des Strahls auf dem Bildschirm verwendet man am besten ein Koordinatensystem KS*, das beim Punkt P seinen Ursprung hat.

Bekannt ist dabei der Abstand $$w$$ zwischen dem Ablenk-Kondensator und dem Bildschirm.

Zunächst kann man die Zeitdauer für den Flug von P zu Q berechnen:

$$t_q=\frac{w}{v_0}$$

Daraus ergibt sich die Ablenkung nach unten im KS*:

$$y^*_q=\frac{w}{v_0}\, v_y$$

Die Geschwindigkeit in y-Richtung läßt sich aus der Beschleunigung im Ablenk-Kondensator bestimmen:

$$v_y=a \, t_p=\frac{eU_Y}{md}\, \frac{l}{v_0}$$

Dann folgt daraus für den Auftreffpunkt im KS*:

$$y^*_q=\frac{w}{v_0}\, \frac{e\, U_y}{md}\, \frac{l}{v_0}= \frac{l\, w\, e\, U_y}{m\, d} \, \frac{1}{v_0^2} = \frac{l\, w\, e\, U_y}{m\, d} \, \frac{m}{2\, e \, U_x} = \frac{2\, l\, w}{4\, d}\, \frac{U_y}{U_x}$$

Um die gesamte Ablenkung zu berechnen, kommt noch die y-Koordinate von P hinzu:

Die Ablenkung des Elektronenstrahls ist proportional zur anliegenden Ablenk-Spannung! $$y_q=(\frac{l^2+2lw}{4d})\frac{U_y}{U_x} \qquad y_q\sim U_y$$

Links

• Simulation der Elektronenablenkröhre zum Runterladen. (Matthias Borchert)

• Experimentieren digital: Elektronen in Feldern (Didaktik der Physik, Uni München)