Die Spule
(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)
Eine Spule besteht aus einem in Schleifen aufgewickelten Kabel. Häufig wird das Kabel auf einen Kern aus Eisen oder Ferrit gewickelt.
Ein neunmal um einen Plastikschlauch gewickeltes Kabel ist schon eine Zylinderspule.
Die große, flach gewickelte Spule eines Induktionskochfeldes. Auf den Platinen der Steuerungselektronik befinden sich mehrere Ringspulen mit Ferrit- oder Eisenkern.
Bei diesem Transformator teilen sich zwei Zylinderspulen den gleichen Eisenkern.
Die Spule dieses Elektromagneten ist bei niedrigen Temperaturen supraleitend. "Schubst" man den Strom einmal an, so fließt er ungebremst weiter.
Diese Zylinderspule hat nur 7 Windungen. Das Magnetfeld befindet sich vor allem in der stromdurchflossenen Spule, was man gut an den ausgerichteten Eisenspänen sehen kann.
Diese Darstellung der Feldlinien und Feldflächen zeigt die näherungsweise Homogenität des Magnetfeldes innerhalb der stromdurchflossenen Spule.
Inhaltsverzeichnis
Drei verschiedene Aspekte
Spulen sind unter verschiedenen Gesichtspunkten in Theorie und Praxis von Bedeutung:
- Das homogene Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule
Bei einer "schlanken" Zylinderspule ohne Eisenkern kann man annehmen, dass sich das Magnetfeld nur innerhalb der Spule befindet. Das Feld ist dann in Richtung und Stärke homogen. Deshalb spielt das Magnetfeld der Spule bei vielen theoretischen Überlegungen eine große Rolle.
Für das elektrische Feld betrachtet man das Feld eines Kondensators.
So kann man den Energiegehalt des magnetischen Feldes untersuchen und auch Aussagen über das Verhalten von Materie im Magnetfeld[1] machen.
- Die Spule als Strom- und Energiespeicher
Magnetfelder können Energie speichern. Zieht man den Nord- und Südpol zweier Festmagnete auseinander, dann wird die dazu benötigte Energie im Magnetfeld gespeichert. Das Feld kann die beiden Pole wieder zusammenziehen, wobei die gespeicherte Energie wieder frei wird. Diese qualtitative Betrachtung haben wir auch für das elektrische und gravitative Feld angestellt.
In elektrischen Schaltungen haben Spulen die Aufgabe kurzfristig Energie in ihrem Magnetfeld und eventuell in ihrem Eisenkern zu speichern.
Weil Spulen vor allem auf die Veränderung des Stromes reagieren, spielen sie in der Wechselstromtechnik als eine Art "Trägheit des Stromes" eine große Rolle.
Normale Spulen sind ungeeignet um Energie in größeren Mengen zu speichern, denn durch den ohmschen Widerstand des Kabels erwärmt sich die Spule und die Energie "geht verloren". Verwendet man spezielle supraleitende Kabel, so fällt diese Form des Energie-"Verlustes" weg, weshalb man sie als supraleitende magnetische Energiespeicher nutzt.
- Spulen als "Empfänger" von Induktionsspannung
Besonders bei Spulen mit vielen Windungen wird bei einem sich verändernden magnetischen Fluß durch die Spule eine Spannung induziert, was man sich in vielen technischen Geräten zu nutze macht.
Vergleich von Kondensator und Spule
Die quantitativen Beschreibungen einer "schlanken" Zylinder-Spule weisen sehr viele Parallelen zu einem Kondensator auf und auch wesentliche Unterschiede. Durch den Vergleich kann man sich die Eigenschaften beider Bauteile gut klarmachen.
| Ähnlichkeiten | |
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| Unterschiede | |
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| Formeln | |||
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| Kondensator | Spule | ||
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erzeugt ein elektrisches Feld,
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[math]E=\frac{U}{d}[/math] |
[math]H=\frac{n\,I}{l}[/math] |
erzeugt ein magnetisches Feld,
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erzeugt einen elektrischen Fluß[2]
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[math]Q = \epsilon_0 \, \epsilon_r \, E \, A[/math] |
[math]n\,\Phi = n\, \mu_0 \, \mu_r \, H\, A[/math] |
erzeugt einen magnetischen Fluß |
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welche von der Spannung |
[math]Q = C \, U[/math] |
[math]n\,\Phi = L \, I[/math] |
welcher von der Stromstärke |
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speichert Energie im elektrischen Feld |
[math]\begin{align} W_{el} &= \frac{1}{2}\,Q\,U\\ &= \frac{1}{2}\,C\,U^2\\ &= \frac{Q^2}{2\,C}\\ \end{align} [/math] |
[math]\begin{align} W_{mag} &= \frac{1}{2}\,n\Phi\,I\\ &= \frac{1}{2}\,L\,I^2\\ &= \frac{(n\Phi)^2}{2\,L}\\ \end{align} [/math] |
speichert Energie[3] im magnetischen Feld |
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Die Kapazität berechnet sich aus Plattenfläche, Plattenabstand und relativer Permittivität des Dielektrikums. |
[math]C= \epsilon_0 \, \epsilon_r \, \frac{A}{d}[/math] |
[math]L= n^2\, \mu_0 \, \mu_r \, \frac{A}{l}[/math] |
Die Induktivität berechnet sich aus Windungsfläche, Spulenlänge, relativer Permeabilität des geschlossenen Eisenkerns und Windungsanzahl. |
Berechnung der Energiemenge einer Spule
Das verzögerte Einschalten eines Lämpchens mit einer in Reihe geschalteten Spule kann man durch die Selbstinduktion erklären. Erst nachdem der maximale Spulenstrom erreicht ist, wird die gesamte Energie vom Netzgerät an die Lampe geliefert. Vorher wird die Energie benötigt, um das Magnetfeld aufzubauen und den Eisenkern zu magnetisieren.
Die in der Spule gespeicherte Energie kann nur von der Stärke des Maximalstroms und Eigenschaften der Spule, wie Windungsanzahl, usw. abhängen. Es ist insbesondere egal wie der maximale Strom erreicht wird, ob schnell oder langsam, gleichmäßig oder ungleichmäßig.
Zur Berechnung der Energiemenge betrachtet man die "Entladung" der Spule nach der Trennung von der Spannungsquelle. Vorher fließt ein konstanter Strom, dann "entlädt" sich die Spule und gibt die Energie an einen "Verbraucher", wie ein Glimmlämpchen ab.
Die zu einem Zeitpunkt an die Spule übertragene Energie wird von der Leistung bestimmt. Die Gesamtenergie erhält man dann als Integral über die momentane Änderungsrate der Energie vom Beginn ([math]t=0[/math]) bis "viel später" ([math]t=\infty[/math]):
- [math] \dot W(t) = P(t)[/math]
- [math] W_{mag}= \int_0 ^\infty \dot W(t)\, dt = \int_0 ^\infty P(t)\, dt[/math]
Je größer die Stromstärke und die Selbstinduktionspannung ist, desto größer ist der Energiefluß aus der Spule. Die Leistung ist das Produkt von Spannung und Stromstärke:
- [math] W_{mag}= \int_0 ^\infty P(t)\, dt = \int_0 ^\infty U(t)\, I(t) \, dt[/math]
Die Selbstinduktionsspannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke, der Proportionalitätsfaktor ist gerade die Induktivität der Spule:
- [math] U(t) = - L\, \dot I(t)[/math]
Somit ergibt sich für die Energie der Spule das Integral:
- [math] W_{mag}= - L\, \int_0 ^\infty \dot I(t) \, I(t) \, dt[/math]
Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Integral zu lösen. Am einfachsten ist es "gut zu raten". Eine Stammfunktion ist nämlich [math] \frac{1}{2} \, I(t)^2[/math], was man durch Ableiten mit der Kettenregel bestätigen kann:
- [math] \left(\frac{1}{2}\, I(t)^2\right)^{\cdot} = \frac{1}{2}\cdot 2\, I(t) \cdot \dot I(t)[/math]
Also berechnet sich das Integral zu:
- [math] W_{mag}= - L\,\int_0 ^\infty \dot I(t) \, I(t) \, dt = L\, \left[\frac{1}{2} I(t)^2 \right]_0^\infty = -\frac{1}{2} \, L\,\left( I(\infty)^2 - I(0)^2 \right)[/math]
Die Stromstärke wird mit der Zeit immer kleiner, insbesondere ist [math]I(\infty)=0[/math]. Und [math]I(0)[/math] ist einfach die ursprüngliche Stromstärke [math]I[/math] der Spule:
- [math] W_{mag}= \frac{1}{2} \, L\,I^2[/math]
- oder mit der mittleren Leistung
Der Einfachheit halber nimmt man an, dass die Stromstärke linear innerhalb der Zeit [math]t[/math] von [math]I_{max}[/math] auf 0 fällt. Die Stromstärkeänderung ist also konstant, und damit auch die Selbstinduktionsspannung:
- [math]U = - L \, \dot I = - L \, \frac{\Delta I}{\Delta t} = - L\, \frac{0-I_{max}}{0-t} = L\, \frac{I_{max}}{t}[/math]
Die Leistung, also die Energieabgabe pro Zeit, fällt ebenfalls linear mit der Zeit, weil die Spannung konstant ist und die Stromstärke linear fällt. Die mittlere Leistung entspricht daher der halben maximalen Leistung:
- [math]\bar P = \frac{1}{2}\, P_{max} = \frac{1}{2} \, U\, I_{max}[/math]
Die Energiemenge kann man nun mit der mittleren Leistung über die Zeit berechnen:
- [math] \begin{align} W &= \bar P \, t \\ &= \frac{1}{2} \, U\, I_{max} \, t\\ &= \frac{1}{2} \, L\, \frac{I_{max}}{t}\, I_{max} \, t \\ &= \frac{1}{2} \, L \ I^2 \end{align} [/math]
[math][/math]
Fußnoten
- ↑ Dazu muß das Probematerial in einem geschlossenen Ring angeordnet sein.
- ↑ Nach der Maxwellschen Gleichung der Elektrostatik ist der elektrische Fluß gerade so groß wie die Ladung auf den Platten.
- ↑ Es gibt auch strukturelle Ähnlichkeiten zur Berechnung der Bewegungsenergie eines Gegenstands der Masse m mit der Geschwindigkeit v: [math]E_{kin} = \frac{1}{2} \, p \, v = \frac{p^2}{2\, m} = \frac{1}{2}\, m\, v^2[/math]
Links
- Berechnung der Energie des Magnetfelds einer Spule ohne Substitution
- Energie einer Spule Berechnung mit Integration durch Substitution
