Energie und Impuls (Potential und Kraftverlauf) einer mechanischen Schwingung

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(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)


Versuche und Beispiele

Versuch: Ein Pendel auf einem Skateboard

Skateboard Pendel.jpg
Beobachtung

Kann man sich hier als Video anschauen.

Versuch: Schwingende Wagen

Aufbau
Die Wagen stehen auf einer Schiene und sind mit einer Feder verbunden.
Beobachtung

Kann man sich hier als Video anschauen.

Animation

Für eine bessere Übersichtlichkeit ist bei dieser Animation die Feder jeweils im Kugelmittelpunkt befestigt. Bei einer realen Situation würde sich die Befestigung natürlich an den Rand der Kugel verschieben, die abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten bleiben erhalten.

Zur Steuerung läßt sich die Animation in Zeitlupe ablaufen oder anhalten. Dann läßt sich die Zeit auch mit dem Schieberegler verstellen.

Die Geogebradatei kann man auch herunterladen. Die Animation läuft damit wesentlich flüssiger. (Zur Datei und zum Programm)

  • Die Masse der linken Kugel beträgt ein Kilogramm. Ändere die Masse der rechten Kugel und beobachte den Schwerpunkt. Wie verändert sich die Verteilung der Energie und die Federhärten der linken und rechten Seite der Feder?
  • Wie hängt die Frequenz der Schwingung von der Energiemenge ab?
  • Wie ändert sich die Frequenz bei einer Vervierfachung (Verdoppelung) der Federhärte?

Die Wege von Impuls und Energie

Ein Körper kann nie alleine schwingen. Er braucht einen Partner. Beide schwingen mit der gleichen Frequenz.

Die Erklärung liefert die Impulserhaltung: Im Schwerpunktsystem ist die Summe der Impulse immer Null. Beide Körper enthalten zu jedem Zeitpunkt die gleiche Impulsmenge, allerdings mit entgegengesetzter Richtung.

Selbst bei einem Federpendel, das z.B. an einer Wand befestigt ist (bei dem es folglich so aussieht, als würde nur ein Körper schwingen), schwingt immer ein anderer Körper, in diesem Fall die Erde, mit. Wegen der wesentlich größeren Masse der Erde ist deren Geschwindigkeit allerdings vernachlässigbar, wodurch es dem Betrachter so erscheint, als würde nur das Federpendel schwingen.

Phase Bild Impuls Energie
links rechts Feder Kugeln
t=0s
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png maximal
(nach rechts)
minimal
(nach links)
Null maximal
t=14T
innere Umkehrpunkte
Schwingung zwei Körper Umkehrpunkt innen.png Null Null maximal Null
t=12Ts
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png minimal
(nach links)
maximal
(nach rechts)
Null maximal
t=34T
äußere Umkehrpunkte
Schwingung zwei Körper Umkehrpunkt aussen.png Null Null maximal Null
t=T
Ruhelage
Schwingung zwei Körper Ruhelage.png maximal
(nach rechts)
minimal
(nach links)
Null maximal
Ein Vergleich der Darstellungen mit Kräften und mit dem Impulsfluss bei einer Feder unter Zugspannung. (Die positive Impulsrichtung ist nach rechts.)
Der Impuls- und Energiefluss.


Die Gesamtenergie setzt sich aus der kinetischen Energie (Bewegungsenergie) der Körper und der Spannenergie der Feder (potentielle Energie) zusammen.
Während einer Schwingung fließt die Energie doppelt so schnell zwischen den Körpern und der Feder hin und her, wie der Impuls zwischen den zwei Körpern.

Der Impulsfluss während einer Schwingung.

Dies lässt sich gut am nebenstehenden Bild verdeutlichen.

Wenn die Feder vollständig auseinandergezogen (Nr.0) oder zusammengedrückt (Nr.4) ist, enthält sie alle Energie des Systems (Beide Körper bewegen sich an genau diesem Punkt nicht). Ist sie entspannt (Nr.2 und Nr.6), so enthält sie gar keine. Die Energie hat sich also während einer Periode zwei mal zwischen Feder und den Körpern hin und her bewegt.

Der Impuls verändert sich mit der gleichen Periode wie die Auslenkung: Sind die Kugeln in der Ruhelage (Nr.3 und Nr.6), so ist der Impuls maximal oder minimal.

Impuls- und Energiemengen der Schwingungspartner

Im Schwerpunktsystem haben beide Schwingungspartner betragsmäßig immer den gleichen Impuls.
Durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten nehmen sie aber nicht die gleiche kinetische Energie auf. Dies ergibt sich direkt aus dem Zusammenhang von Impuls und kinetischer Energie:

Ekin=12mv2=p22m(wegen v=pm)

Bei gleichem Impuls ist die kinetische Energie antiproportional zur Masse. Ein Gegenstand hat bei gleicher Impulsmenge mit der doppelten Masse nur die halbe kinetische Energie!

Die Spannenergie der Feder verteilt sich gleichmäßig in der Feder. Die Energiemengen der Gesamtschwingung teilen sich daher genauso auf wie der Schwerpunkt des Systems die Feder aufteilt. Jede Seite der Schwingung tauscht die Energie nur mit "ihrer" Seiter der Feder aus.

Schwingung zwei Körper Weg von Impuls und Energie.jpg

Impuls- und Energiegiemengen mit der Erde als Schwingungspartner

Die Erde als Schwingungspartner.

Schwingt ein Fadenpendel oder ein Federpendel scheinbar ohne Partner, so ist es die gesamte Erde, die sich minimal bewegt und so den entgegengesetzten Impuls aufnimmt.
In diesem Fall nimmt die Erde zwar Impuls auf, aber quasi keine Energie:

EErde=p2Erde2mErdeEm=p22m

Weil aber der Impuls beider Körper gleich ist (PErde=p), folgt:

EErde<<Em


Schwingt ein Gegenstand der Masse m an einer Feder der Härte D mit der Erde als Schwingungspartner, so ergibt sich die Gesamtenergie entweder als maximale kinetische Energie oder als maximale Spannenergie:

E=12mˆv2=12mω2ˆy2E=12Dˆy2

Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.

Berechnung der Lage des Schwerpunkts und Trennen in zwei Teilsysteme

Im Schwerpunktsystem ist der Schwerpunkt trivialerweise in Ruhe. Betrachtet man beide Seiten getrennt, so muss man beachten, dass die Federhärten beider Seiten sich durch die Verkürzung verändern. Auch die Amplituden beider Seiten sind unterschiedlich.

Schwingung zwei Körper Schwerpunkt.png

Der Schwerpunkt ist so etwas wie das gewichtete Mittel der beiden Orte. Das ist vergleichbar mit dem Durchschnitt einer Klassenarbeit:

S=m1s1+m2s2m1+m2[1]

Betrachtet man die Entfernung der einzelnen Gegenstände vom gemeinsamen Schwerpunkt, so findet man, dass sie gerade umgekehrt proportional zu den Massen sind:

m1l1=m2l2l1l2=m2m1

Löst man die Gleichung nach l1 oder l2 auf [2] , so folgt:

()l1=m1m1+m2lundl2=m2m1+m2l

Das gleiche gilt logischerweise auch für die Amplituden der linken und rechten Seite:

ˆy1=m1m1+m2(ˆy1+ˆy2)undˆy2=m2m1+m2(ˆy1+ˆy2)

Auch die gesamte Energie des schwingenden Systems kann man aufteilen. Dazu betrachtet man den Zeitpunkt, in dem die Körper sich in den äußeren oder inneren Umkehrpunkten befinden. Dann ist die gesamte Energie in der Feder. Die Energie ist gleichmäßig in der Feder verteilt und daher steckt im längeren Teilstück auch mehr Energie:

E1=m1m1+m2EgesundE2=m2m1+m2Eges mit Eges=12D(ˆy1+ˆy2)2

Da die Feder eines Teilstücks kürzer als die gesamte Feder ist, hat das Teilstück auch eine andere Federhärte als die ganze Feder. Denn bei gleicher Änderung der Länge ist nun die wirkende Kraft größer. Ist die Feder nur halb so lang, verdoppelt sich die Federhärte. Die Federhärten der Teilfedern betragen deshalb:

D1=ll1DD2=ll2D

Oder, wenn man Gleichung () einsetzt:

D1=m1+m2m2DundD2=m1+m2m1D
Zerlegung einer Schwingung in die Teilsysteme 1 und 2:
Schwingung zwei Körper Schwerpunkt.png

Man betrachtet nur eine Seite der Schwingung, indem man die Feder am Ort des Schwerpunktes in Gedanken durchschneidet und dort eine sehr große Masse anbringt.

l1=m1m1+m2lundl2=m2m1+m2l
ˆy1=m1m1+m2(ˆy1+ˆy2)undˆy2=m2m1+m2(ˆy1+ˆy2)
E1=m1m1+m2EgesundE2=m2m1+m2Eges mit Eges=12D(ˆy1+ˆy2)2
D1=m1+m2m2DundD2=m1+m2m1D
ω2=D1m1=D2m2=m1+m2m1m2D
Beispielrechnung

Das Bild oben verdeutlicht die Situation: Man kennt die Massen der beiden Kugeln, die Länge und Härte der Feder. Die Feder wird zu Beginn der Bewegung um die Strecke Δl=1cm verlängert und losgelassen.

Aus den Massen berechnet sich dann der gemeinsame Schwerpunkt und die Härte der Teilfedern. Den Ursprung des Koordinatensystems kann man in den Ort der linken Kugel, also S1 legen.

m1=1kg  S1=0cmundm2=3kg  S1=12cmundD=150Nm
S=1kg0cm+3kg12cm4kg=9cm

Der Schwerpunkt liegt also 9 Zentimeter von der linken Kugel entfernt. Das gleiche Ergebnis liefert auch die Rechnung mit den Abständen zum Schwerpunkt:

l1=3412cm=9cml2=1412cm=3cm
ˆy1=341cm=0,75cmˆy2=141cm=0,25cm

Auch die Energie teilt sich auf wie die Länge:

E1=34EgesundE2=14Eges mit Eges=12150Nm(0,01m)2=0,0075J=7,5mJ


Für die Federhärten der Teilfedern ergibt sich:

D1=43150Nm=200NmD2=41150Nm=600Nm

Beide Seiten schwingen mit der gleichen Frequenz:

ω21=D1m1=200Nm1kg=200s2ω22=D2m2=600Nm3kg=200s2ω2=m1+m2m1m2D=4kg1kg3kg150Nm=200s2

Grafische Darstellungen

Schwingungen Wagen an Feder.png

Die Diagramme sind für eine einfache harmonische Feder-Schwingung eines Wagens berechnet worden. Sie sehen aber für nichtharmonische Schwingungen ähnlich aus.

Da der Wagen zusammen mit der Erde schwingt, kann man seinen Schwingungspartner als ruhend betrachten. Alle Diagramme beschreiben die Eigenschaften des Wagens aus der Sicht eines auf der Erde ruhenden Betrachters.

in Abhängigkeit von der Zeit

Hier kann man sehen, wie die Elongation und die Geschwindigkeit (und wegen p=mv auch der Impuls) sich mit der Zeit verändern.

Die Elongation y(t)=ˆysin(ωt) und die Geschwindigkeit y(t)=ˆvcos(ωt) in Abhängigkeit der Zeit.

Die Bewegungsenergie hängt über Ekin=12mv2 direkt mit der Geschwindigkeit zusammen. Ebenso hängt die Spannenergie der Feder wegen EFeder=12Dy2 direkt mit der Auslenkung zusammen.
Man erkennt auch gut, dass die Energie in jeder Periode zweimal die Form wechselt. Die Gesamtenergie bleibt konstant.

Die Energie der Feder EFeder=Egessin(ωt)2, die Bewegungsenergie des schwingenden Körpers Ekin=Egescos(ωt)2 und die Gesamtenergie Eges=12Dˆy2=12mˆv2 in Abhängigkeit der Zeit.

in Abhängigkeit vom Ort

Die Energieformen eines (horizontalen) Federpendels in Abhängigkeit vom Ort.
Die auf den schwingenden Gegenstand wirkende Kraft in Abhängigkeit vom Ort.

In Abhängigkeit von der Elongation steigt die potentielle Energie, also die Energie der Feder, quadratisch, während die kinetische Energie quadratisch abnimmt.

Den quadratischen Zusammenhang zwischen der Auslenkung y und potentieller (Feder-) Energie erkennt man gleich wegen:

EFeder(y)=12Dy2

Wegen der Energieerhaltung folgt für die kinetische Energie:

Ekin(y)=EgesEFeder(y)=Eges12Dy2

An der Funktionsgleichung erkennt man die umgedrehte und nach oben verschobene Parabel des Graphen von Ekin(y)

Die Gesamtenergie, also die Summe beider Energiemengen, bleibt konstant.

Schwingung als Bewegung in einem Potential

Es fällt auf: Steigt die potentielle Energie stark an, dann ist auch die bremsende Kraft groß. Und ist die Rückstellkraft positiv, aber klein, so nimmt die potentielle Energie langsam ab.

Energieübertragung mit einer Kraft

EFs

Fläche unter dem Kraftverlauf (Kraft-Ort-Kurve) F(s)

E=F(s)ds=ˉFs

Steigung von Epot

FEs=Es

F=E

Von der potentiellen Energie zum Potential durch Normierung auf 1kg: φpot=1mEpot

Vorstellung: Nett, aber nicht exakt: Gegenstand rutscht im Potential hin- und her.

Das Potential eines Feldes

Fußnoten

  1. Hochspringen Die Gleichung gilt auch in drei Dimensionen, dann schreibt man die Orte als Punkte, bzw. Vektoren.
  2. Hochspringen m1l1=m2l2undl=l1+l2
    m1l1=m2l2undl2=ll1| Die rechte in die linke Gleichung einsetzen.
    m1l1=m2(ll1)| Ausmultiplizieren und nach l1 auflösen
    m1l1=m2lm2l1|+m2l1
    m1l1+m2l1=m2l
    l1(m1+m2)=m2l|:(m1+m2)
    l1=m2m1+m2l