Verwendung von Wellenpaketen und Fouriertransformation

(Kursstufe > Quantentheorie nach Schrödinger (Wellenfunktion) und Feynman (Pfadintegrale))

Nimmt man eine ebene Wellenfunktion zur Beschreibung der Welleneigenschaft eines Quantenobjekts, so ergibt sich das Problem, dass diese nicht ortsgebunden ist. Da eine ebene Welle schließlich endlos lang ist und an jedem Punkt dieselbe Amplitude hat, wäre die Wahrscheinlichkeitsverteilung (Amplitude ins Quadrat) an jedem dieser unendlich Punkte gleich hoch, da das Integral unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung logischer Weise 100% nicht übersteigen kann, wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Objekt an irgendeinem Ort befindet gleich 0.

Um diesem Problem Abhilfe zu verschaffen, benutzt man stattdessen Wellenpakete, die nicht überall die gleiche Amplitude besitzen: ebene Wellenfunktion vergrößern ebene Wellenfunktion

Wellenpaket vergrößern Wellenpaket Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ebenen Wellenfunktion vergrößern Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ebenen Wellenfunktion

Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Wellenpakets vergrößern Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Wellenpakets [bearbeiten] Fouriertransformation

Diese Wellenpakete können auch durch Überlagerung verschieden frequenter ebenen Wellenfunktionen beschrieben werden. Dabei muss man aber ein kontinuierliches Frequenzspektrum benutzen, einzelne ausgewählte Frequenzen reichen nicht. Desweiteren muss man, umso geringer die räumliche Ausdehnung des Wellenpakets ist, desto größere Frequenzspektren benutzen. Also steigt die Ungenauigkeit der Frequenz mit der Genauigkeit des Ortes: Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ebenen Welle vergrößern Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung einer ebenen Welle

Frequenzspektrum einer ebenen Welle vergrößern Frequenzspektrum einer ebenen Welle Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eines langen Wellenpakets vergrößern Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eines langen Wellenpakets

Frequenzspektrum eines langen Wellenpakets vergrößern Frequenzspektrum eines langen Wellenpakets Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eines kurzen Wellenpakets vergrößern Funktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eines kurzen Wellenpakets

Frequenzspektrum eines kurzen Wellenpakets vergrößern Frequenzspektrum eines kurzen Wellenpakets

Diese Ungenauigkeit der Frequenz ist aber auch auf die Ungenauigkeit des Impulses zurückzuführen und damit auch auf die Heisenbergsche Unschärferelation): LaTex: p = mc Da LaTex: E = hf = m c^2 => LaTex: m = \frac{hf}{c^2} oben eingesetzt LaTex: p = \frac{hf}{c} = \frac{h}{c}f Also LaTex: p \sim f