Gedämpfte Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Dezember 2025, 16:44 Uhr

(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)

Merkmale einer gedämpften Schwingung

Beispiele

Versuch: Schwingende Stange

Aufbau

Beobachtung

Messwerte:

Versuch: Wassergedämpftes Federpendel

Aufbau

Beobachtung

Theoretischer Hintergrund

Bei Gleitreibung

Die Amplitude nimmt linear ab, die Frequenz ändert sich nicht.

[math]F_{R}=const.[/math]

DGL: [math]m\ddot y=-Dy\pm F_R[/math]

Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit

Laminare Strömung ohne Wirbel [math]F_{R}\sim v [/math]

[math] \begin{align} \text{DGL:} \quad m\, \ddot y &=-D\, y -k\, \dot y \quad(k:Reibungskoeffizient)\\ \ddot y &=-{D\over m}\, y -{k\over m}\, \dot y \\ \end{align} [/math]

Verschiedene Fälle der Bewegung

Je nach Wert des sogenannten Dämpfungskoeffizienten [math]\delta = \frac{k}{2\, m}[/math] erhält man verschiedene Lösungen der DGL und somit grundsätzlich verschiedene Bewegungstypen. Dazu vergleicht man den Dämpfungskoeffizienten [math]\delta[/math] mit der Kreisfrequenz [math]\omega_0[/math] der freien, ungedämpften Schwingung:

1) Schwingfall (schwache Dämpfung))

[math] \begin{align} && 0 &\lt {\omega_0}^2 - \delta ^2\\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 &\lt {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} &\lt \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 &\lt 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]

[math]y(\, t)=\hat y \, e^{-\delta\, t}\cos(\omega \, t) \qquad\textrm{mit} \quad \omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2[/math]

Die Amplitude nimmt exponentiell ab.

2) aperiodischer Grenzfall

[math] \begin{align} && 0 & = {\omega_0}^2 - \delta ^2\\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 &= {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} & = \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 & = 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]

3) Kriechfall (starke Dämpfung)

[math]\quad \delta^2 \gt {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2 \gt 4\,D\,m [/math]

[math] \begin{align} && 0 & \gt {\omega_0}^2 - \delta ^2 \\ \Leftrightarrow &&\delta ^2 & \gt {\omega_0}^2\\ \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} & \gt \frac{D}{m}\\ \Leftrightarrow &&k^2 & \gt 4\, D\, m\\ \end{align} [/math]

[math]y(t) = \hat y \, e^{-K t} \quad\textrm{mit} \quad K = k-\sqrt{k^2 - {\omega_0}^2}[/math]

Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit

Strömung mit Wirbelbildung

[math]F_{R}\sim v^2[/math]

DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y^2[/math] [math]\Rightarrow[/math]ist nicht exakt lösbar! (nur näherungsweise mit Computer)

Aufgaben

1. Was muss man bedenken, wenn man die Dämpfung einer LKW-Feder plant?Da der LKW schwere Last transportieren muss, braucht er eine gewisse Schwingung.Unbeladen schaukelt er dann zwar stark, aber mit Last wäre er sonst eine Gefährdung.

2. Die Dämpfung bei einem Auto ist unsymmetrisch. Sie ist beim Zusammendrücken stärker, als beim Auseinanderziehen. Warum ist es so?Da die Straße nicht immer eben ist, muss durch eine Dämpfung ein Ausgleich geschaffen werden. Sie ist daher asymmetrisch, weil z.B. bei einem Schlagloch der Ausgleich nur auf einer Seite sein muss.

Links

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