Materiewellen nach de Broglie

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Um alle Phänomene von Licht zu beschreiben, mußten wir sowohl auf das Wellen-, als auch auf das Teilchenmodell zurückgreifen.

Einerseits beschreiben wir Licht als Welle mit gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern[1], andererseits sprechen wir von Photonen, die eine gewisse Energiemenge enthalten[2], eine Masse und einen Impuls besitzen[3].

Es stellt sich daher die Frage, ob nicht auch Gegenstände, die bisher im Teilchenmodell beschrieben wurden, auch Welleneigenschaften haben. Wie zum Beispiel Moleküle, Atome, Atomkerne, Elektronen oder gar Gegenstände wie Bücherregale. Luis de Broglie[4] verfolgte diesen Gedanken als erstes konsequent und erhielt dafür 1929 den Physik-Nobelpreis.

Welche Frequenz oder Wellenlänge sollte dann so einer Welle zugeordnet werden? Bisher kennen wir nur die Energie, Masse und den Impuls eines Photons:

[math]E=m\,c^2=h\,f \qquad p=\frac{h}{\lambda}[/math]

Bei der Berechnung der Energie und der Masse ist es wesentlich, dass das Photon sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Dies ist aber bei Atomen und anderen Teilchen nie der Fall, daher ist es sinnvoll den Zusammenhang von Impuls und Wellenlänge zu verallgemeinern. Diese Wellenlänge bezeichnet man nach de Broglie auch als de Broglie-Wellenlänge:

Die Broglie-Wellenlänge eines Teilchens mit dem Impuls p:

[math]\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}[/math]

Welche Wellenlängen haben dann zum Beispiel ein Elektron mit 10% der Lichtgeschwindigkeit und welche ein Fußball mit 10m/s?

Elektron: [math]\lambda = 2{,}4\cdot10^{-11}\,\rm m \quad .[/math] Im Bereich der Röntgenstrahlung.
Fußball: [math]\lambda = 1{,}3\cdot10^{-34}\,\rm m \quad .[/math] Extrem klein!

Um typische Welleneigenschaften, wie Beugung und Interferenz nachzuweisen, braucht man ein Doppelspalt oder ein Gitter in der Größenordnung der Wellenlänge. Für Elektronen kommen deshalb Kristallgitter in Frage, deren Atomabstände im Bereich der Wellenlänge von Röntgenstrahlung liegen. Bei makroskopischen Objekten, wie dem Fußball, ist die de Broglie-Wellenlänge so klein, dass Beugungs- oder Interferenzerscheinungen nicht beobachtet werden können.

Elektronenbeugung Debye-Scherrer-Verfahren

Aufbau

Versuchsaufbau Elektronenbeugung

In einer Kathodenstrahlröhre wird ein Elektronenstrahl erzeugt: Aus einer geheizten Glühwendel treten Elektronen aus, die durch ein elektrisches Feld von einigen Kilovolt Potentialdifferenz beschleunigt werden. Der Elektronenstrahl trifft dann auf gepresstes Graphitpulver. Zum Nachweis der Elektronen dient ein fluoreszierender Schirm.

Die Hochspannung wird zwischen 1kV und 5kV variiert. (Mehr als 5kV sollten es nicht sein, weil sonst zu kurzwellige Röntgenstrahlung entsteht.)

Beobachtung

Bei geringer Beschleunigungsspannung ist ein heller Fleck in der Mitte des Schirm zu sehen. Der Rest des Schirms ist dunkel.

Je größer die Spannung wird, desto heller ist der Fleck, aber auch der Bereich darum wird immer heller.

Bei 2kV sind um den Fleck zwei konzentrische Kreise zu beobachten. Vergrößert man die Spannung weiter, so verkleinert sich der Radius dieser Kreise.

Radius des großen Kreises bei 3kV: R=2,5cm mit L=133mm

Animation

Diese Bilder zeigen die Messergebnisse des RCLs der Universität der Bundeswehr in München.

Mit dem Schieberegler kann man die Beschleunigungsspannung in Volt einstellen.

Der Maßstab hat eine 2mm-Einteilung. Der Abstand zwischen Graphitprobe und Schirm beträgt hier L = 135 mm.

Erklärung

Die Kohlenstoffatome von Graphit sind in parallen Ebenen mit einem Wabenmuster angeordnet. Der Abstand der Ebenen beträgt [math]0{,}335\,\rm nm[/math][5].
Graphit hat außer den "natürlichen" Netzebenen noch weitere innerhalb der Wabenstruktur. Der Abstand der C-Atome in einer Wabe beträgt [math]0{,}142\,\rm nm[/math][6].

In dieser zweidimensionalen Animation kann man selbst verschiedene Netzebenen suchen.
Eine dreidimensionale Animation gibt es auch.

Man nimmt an, das die Elektronen Welleneigenschaften haben, also verwenden wir das Huygensche Prinzip und die Interferenz von Wellen zur Erklärung.

Ordnet man den Elektronen ihre de Broglie-Wellenlänge zu, so ist es logisch, dass bei größeren Spannungen das kleinere Interferenzmuster zu sehen ist. Denn die größerere Beschleunigung führt zu einem größerem Impuls und damit zu einer kleineren Wellenlänge. Auch bei den Interferenzexperimenten mit Licht ist das Muster des roten Lichtes immer größer als das des blauen Lichtes.

Für eine genauere Betrachtung muss man die Interferenzbedingungen untersuchen. Die Atome sind in einem Kristall regelmäßig angeordnet. Die Atome bilden Ebenen, die wiederum einen festen Abstand voneinander haben.

Jedes Atom im Kristall kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden.

  1. Die Elementarwellen einer Ebene überlagern sich dabei zu einer reflektierten Welle, nach dem Reflektionsgesetz und einer unverändert weiterlaufenden Welle[7]. Eine Atomebene verhält sich also wie ein Spiegel.
  2. Durch die Reflektion an unterschiedlichen Atomebenen entsteht ein Gangunterschied, ähnlich wie bei der Interferenz an dünnen Schichten. Beträgt dieser Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, so liegt konstruktive Interferenz (ein Maximum) vor.

Der Gangunterschied hängt vom Ebenenabstand und dem Winkel zwischen Ausbreitungrichtung und Atomebene ab.

Animation: Braggsche Interferenz-Bedingung

Dargestellt sind zwei Atomebenen im Abstand d. Man kann den Winkel des einfallenden Elektronenstrahls durch Ziehen am orangenen Punkt verändern.

Nur bei bestimmten Winkeln ist der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge. Für diese Fälle liegt konstruktive Interferenz vor.


Der Zusammenhang zwischen Winkel des Elektronenstrahls, dem Atomebenenabstand und der Wellenlänge ergibt sich einfach aus dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck:

[math]\sin(\varphi)=\frac{\triangle s /2}{d}[/math]

Braggsche Interferenzbedingung für das n-te Maximum:

[math]2\, d \sin(\varphi)=\triangle s \quad \mathrm{ mit} \ \triangle s = n\, \lambda[/math]



Animation: Maxima des Debye-Scherrer-Verfahrens / Pulver-Verfahrens

Bei der Debye-Scherrer oder Pulver-Methode verläuft der einfallende Elektronenstrahl immer in der gleichen Richtung und die kleinen Kristalle des Pulvers haben alle möglichen Ausrichtungen.

Dargestellt ist einer der vielen kleinen Kristalle des Pulvers. Der Kristall kann in seiner Lage durch die Angabe des Winkels φ verändert werden.

Die Wellenlänge des Elektronenstrahls und der Abstand d der Atomebenen und kann am Schieberegler verändert werden.

Für manche Winkel ist die Braggsche Interferenzbedingung für das erste, zweite, usw. Maxima erfüllt. Im Pulver sind die kleinen Kristalle in allen möglichen Lagen vorhanden, weswegen es auch für alle Winkel Kristalle gibt, welche die Interferenzbedingung erfüllen.

Trifft der Elektronenstrahl auf den fluoreszierenden Schirm, so sieht man dort einen Fleck. Dadurch kann man die Maxima als helle Kreise auf dem Schirm sehen.



Interferenzbedingungen

Gemessen wird der Abstand L zwischen Schirm und Graphit, sowie die Entfernung R des Maximas von der Achse. Der Winkel zwischen den Elektronenstrahlen hinter dem Graphit beträgt [math]2\, \varphi[/math]. Das kann man daran erkennen, daß die Atomebenen des Kristalls gerade parallel zur Winkelhalbierenden der Elektronenstrahlen liegen. Nun gilt:

[math]\tan(2\, \varphi)=\frac{R}{L}[/math]

Für kleine Winkel gelten die Näherungen:

[math]\frac{R}{L} = \tan(2\, \varphi) \approx 2\, \varphi \approx 2 \sin(\varphi)[/math]

Das kann man nun in die Bragg-Bedingung einsetzen:

[math]d\, 2 \sin(\varphi)=\triangle s \quad \mathrm{ mit} \ \triangle s = n\, \lambda[/math]

[math] d \, \frac{R}{L} = n \, \lambda[/math]

Berechnung der atomaren Abstände

Nimmt man die Wellenlänge als gegeben an, kann man die Abstände der Atomebenen berechnen.

1) Energie der Elektronen

Die Elektronen durchlaufen die Potentialdifferenz [math]U[/math] und beschleunigen dabei. Die Energie, die sie aus dem elektrischen Feld erhalten, ist daher so groß wie ihre kinetische Energie:

[math]e\, U = \frac{1}{2}\,m\,v^2[/math].

Bei 3kV hat ein Elektron z.B. die Energie: [math]E=1{,}6\cdot10^{-19}\,\rm{C} \cdot 3 \cdot10^{3}\,\rm V = 4{,}8\cdot 10^{-16}\,\rm J[/math]

2) Geschwindigkeit und Impuls der Elektronen

Einfach nach der Geschwindigkeit auflösen:

[math]v=\sqrt{\frac{2\, e\, U}{m}}[/math]

Bei 3kV sind das [math]32500000\, \frac{\rm m}{\rm s}[/math], also ca. 10% der Lichtgeschwindigkeit.

Der Impuls ergibt sich dann zu:

[math]p= m\, \sqrt{\frac{2\, e\, U}{m}} = \sqrt{2\, m\, e\, U} [/math]

Bei 3kV ergibt sich ein Impuls von [math]2{,}96\cdot 10^{-23}\,\rm Hy \quad (\rm N s)[/math].

3) de Broglie-Wellenlänge der Elektronen
[math]\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2\, m\, e\, U}}[/math]

Bei 3kV ergibt sich eine Wellenlänge von [math]2{,}24\cdot 10^{-11}\,\rm m = 0{,}0224\,\rm nm[/math].

4) Abstand d berechnen

Die Interferenzbedingung nach d auflösen:

[math] d \, \frac{R}{L} = n \, \lambda \quad \Rightarrow \quad d = \frac{ n \, \lambda \,L}{R}[/math]

Und die Wellenlänge einsetzen:

[math] d = \frac{n \,h\, L}{R\, \sqrt{2\, m\, e\, U}}[/math]

Für die gemessenen Größen des 1. Maximums bei 3kV: R=2,5cm und L=13,3cm ergibt sich:

[math]d = 1{,}2\cdot 10^{-10}\,\rm m = 0{,}12\,\rm nm[/math]

Berechnung der Elektronen-Wellenlänge

Kennt man den Atomebenenabstand bereits, zum Beispiel aus einer Messung mit Röntgenlicht, so kann man daraus die Wellenlänge der Elektronen berechnen und so die de-Broglie-Wellenlänge bestätigen.

Fußnoten

  1. ↑ Siehe: Grundbegriffe und Beispiele zu elektromagnetischen Wellen
  2. ↑ Siehe: Der Photoeffekt
  3. ↑ Siehe: Masse & Impuls von Photonen - Der Compton-Effekt
  4. ↑ Siehe: Wikipedia: Louis de Broglie Dort kann man sich auch die korrekte Aussprache dieses französischen Namens anhören.
  5. ↑ Siehe Wikipedia: Graphite, Structure
  6. ↑ Siehe Wikipedia: Graphite, Structure
  7. ↑ Vgl. Reflektion und Brechung einer Welle

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