Die Spule

(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)

Magnetfelder können Energie speichern. Zieht man einen Nord- und einen Südpol auseinander, dann wird die dazu benötigte Energie im Magnetfeld gespeichert. Das Feld kann die beiden Pole wieder zusammenziehen, wobei die gespeicherte Energie wieder frei wird. Diese qualtitative Betrachtung haben wir auch für das elektrische und gravitative Feld angestellt.

Quantitative Überlegungen zur Energie des magnetischen Feldes führt man am Beispiel einer idealen Spule durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.

Vergleich von Kondensator und Spule

Die quantitativen Beschreibungen einer Spule weisen sehr viele Parallelen zu einem Kondensator auf, weshalb hier zunächst ohne Begründung alle Ergebnisse aufgeführt werden:

Kondensator			Spule
speichert elektrische Ladung	[math]Q[/math]	[math]n\,\Phi[/math]	erzeugt einen magnetischen Fluß
welche von der Kapazität und der Spannung abhängt	[math]Q = C \, U[/math]	[math]n\,\Phi = L \, I[/math]	welcher von der Induktivität und der Stromstärke abhängt
speichert Energie im elektrischen Feld	[math]\begin{align} W_{el} &= \frac{1}{2}\,Q\,U\\ &= \frac{1}{2}\,C\,U^2\\ &= \frac{Q^2}{2\,C}\\ \end{align} [/math]	[math]\begin{align} W_{mag} &= \frac{1}{2}\,n\Phi\,I\\ &= \frac{1}{2}\,L\,I^2\\ &= \frac{(n\Phi)^2}{2\,L}\\ \end{align} [/math]	speichert Energie im magnetischen Feld

Die Energiemenge einer Spule läßt sich auch quantitativ angeben, es gibt große Ähnlichkeiten zu anderen Energiemengen:

magnetische Feldenergie	Spule mit der Induktivität L und Strom der Stärke I	[math]E_{mag}=\frac{1}{2} \, n\Phi \, I = \frac{(n\Phi)^2}{2\, L} = \frac{1}{2}\, L \, I^2 [/math]
elektrische Feldenergie	Kondensator mit der Kapazität C und der Spannung U	[math]W=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{Q^2}{2\, C} = \frac{1}{2}\, C \, U^2 [/math]
Bewegungsenergie	Gegenstand mit der Masse m und der Geschwindigkeit v	[math]E_{kin} = \frac{1}{2} \, p \, v = \frac{p^2}{2\, m} = \frac{1}{2}\, m\, v^2[/math]

Berechnung der Energiemenge einer Spule

Das verzögerte Einschalten eines Lämpchens mit einer in Reihe geschalteten Spule kann man durch die Selbstinduktion erklären. Erst nachdem der maximale Spulenstrom erreicht ist, wird die gesamte Energie vom Netzgerät an die Lampe geliefert. Vorher wird die Energie benötigt, um das Magnetfeld aufzubauen und den Eisenkern zu magnetisieren.

Die in der Spule gespeicherte Energie kann nur von der Stärke des Maximalstroms und Eigenschaften der Spule, wie Windungsanzahl, usw. abhängen. Es ist insbesondere egal wie der maximale Strom erreicht wird, ob schnell oder langsam, gleichmäßig oder ungleichmäßig.

Zur Berechnung der Energiemenge betrachtet man die "Entladung" der Spule nach der Trennung von der Spannungsquelle. Vorher fließt ein konstanter Strom, dann "entlädt" sich die Spule und gibt die Energie an einen "Verbraucher", wie ein Glimmlämpchen ab.

Die zu einem Zeitpunkt an die Spule übertragene Energie wird von der Leistung bestimmt. Die Gesamtenergie erhält man dann als Integral über die momentane Änderungsrate der Energie vom Beginn ([math]t=0[/math]) bis "viel später" ([math]t=\infty[/math]):

[math] \dot E(t) = P(t)[/math]

[math] E_{mag}= \int_0 ^\infty \dot E(t)\, dt = \int_0 ^\infty P(t)\, dt[/math]

Je größer die Stromstärke und die Selbstinduktionspannung ist, desto größer ist der Energiefluß aus der Spule. Die Leistung ist das Produkt von Spannung und Stromstärke:

[math] E_{mag}= \int_0 ^\infty P(t)\, dt = \int_0 ^\infty U(t)\, I(t) \, dt[/math]

Die Selbstinduktionsspannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke, der Proportionalitätsfaktor ist gerade die Induktivität der Spule:

[math] U(t) = L\, \dot I(t)[/math]

Somit ergibt sich für die Energie der Spule das Integral:

[math] E_{mag}= L\, \int_0 ^\infty \dot I(t) \, I(t) \, dt[/math]

Um über die Zeit zu integrieren, benötigt man den genauen zeitlichen Verlauf der Stromstärke. Man kann aber auch die Stromstärke selbst als neue Variable nehmen. Man integriert dann von der Stromstärke zu Beginn bis zur Stromstärke zu einem "viel späteren" Zeitpunkt:

[math] E_{mag}= L\, \int_{I(0)} ^{I(\infty)} \dot I \, I \, dI[/math]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Integral zu lösen. Am einfachsten ist es "gut zu raten". Eine Stammfunktion ist nämlich [math] \frac{1}{2} \, I(t)^2[/math], was man durch Ableiten mit der Kettenregel bestätigen kann:

[math] \left(\frac{1}{2}\, I(t)^2\right)^{\cdot} = \frac{1}{2}\cdot 2\, I(t) \cdot \dot I(t)[/math]

Also berechnet sich das Integral zu:

[math] E_{mag}= L\,\int_{I(0)} ^{I(\infty)} \dot I \, I \, dI = L\, \left[\frac{1}{2} I^2 \right]_{I(0)}^{I(\infty)} = \frac{1}{2} \, L\,\left( I(\infty)^2 - I(0)^2 \right)[/math]

Die Stromstärke wird mit der Zeit immer kleiner, insbesondere ist [math]I(\infty)=0[/math]. Und [math]I(0)[/math] ist einfach die Stromstärke [math]I[/math] der Spule:

[math] E_{mag}= \frac{1}{2} \, L\,I^2[/math]

oder mit der maximalen Leistung (folgt!)

Der Einfachheit halber nimmt man an, dass die Stromstärke linear innerhalb der Zeit [math]t_{max}[/math] auf [math]I_{max}[/math] ansteigt. Die Stromstärkeänderung ist also konstant, und damit auch die Selbstinduktionsspannung:

[math]U = - L \, \dot I = - L\, \frac{I_{max}}{t_{max}}[/math]

[math][/math]

Links

• Berechnung der Energie des Magnetfelds einer Spule ohne Substitution
• Energie einer Spule Berechnung mit Integration durch Substitution