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Erklärung und Auswertung

Die gemessene Spannung läßt sich mit der Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger erklären. Diese verschieben sich aufgrund der wirkenden Lorentzkraft quer zum Leiter. In den meisten Leitern, insbesondere in Metallen, sind die Ladungsträger die Elektronen.

Die Verschiebung der Elektronen verursacht andererseits ein elektrisches Feld, dass der Lorentzkraft entgegenwirkt. Deshalb stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem die Lorentzkraft auf ein Elektron gleich der elektrischen Kraft ist.

Diese Zeichnung zeigt das Plättchen im Magnetfeld. Durch die angelegte Spannung fließt ein Strom vom positiven Pol zum negativen Pol. Im Falle von Metallen sind die Ladungsträger negative Elektronen und bewegen sich vom Minus- zum Pluspol. Verwendet man p-dotierte Halbleiter, so können wandern positive "Löcher" vom Plus- zum Minuspol.

Berechnung der Hallspannung

Um den Zusammenhang zwischen Hallspannung, Magnetfeldstärke, Stromstärke und den Materialeigenschaften des Leiters zu untersuchen, macht man zwei Ansätze:

1. Das elektrische Feld ähnelt dem eines Plattenkondensators.
2. Die Lorentzkraft auf die Ladungen ist gleich der elektrischen Kraft.

$$F_E=F_L$$

Man setzt ein:

$$F_E= q \, E = e \, E$$ mit der Elementarladung $$e$$ eines Elektrons.

Für die Feldstärke nimmt man einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand h an, also:

$$E=\frac{U_H}{h}$$

Die Lorentzkraft auf ein Elektron beträgt:

$$F_L =\mu_0\, e \, v \, H$$

$$e \frac{U_H}{h}= \mu_0\, e \, v \, H$$

(*) $$U_H = \mu_0\, v \, H \, h$$ Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Geschwindigkeit der Ladungsträger. Die Hallspannung hängt nicht von der Ladungsmenge auf den Ladungsträgern ab.

Bis jetzt bleiben Materialeigenschaften unberücksichtigt. Das ändert sich, wenn man die Ladungsträgerdichte im leitenden Material betrachtet:

Die Kraft auf alle Elektronen im Leiter ist

$$F_{Lges}=\mu_0 \, H \, I \, l$$ . Wenn man annimmt, dass sich die Anzahl von $$N_q$$ Elektronen im Leiter befindet, ergibt sich die Kraft auf ein Elektron als der $$N_q$$ -te Teil der gesamten Kraft:

$$F_E=F_L$$

(**)

$$e \frac{U_H}{h}=\mu_0 \ H \, I \, l \, \frac{1}{N_q}$$

Nach der Hallspannung auflösen:

$$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I \, l \, h}{N_q \, e}$$

Das Volumen beträgt

$$V=l\,h\,d,$$ also ist $$l\,h=\frac{V}{d}$$ .

$$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{V}{N_q} \frac{1}{e}$$

Die Anzahl der Ladungsträger pro Volumen

$$\rho_N=\frac{N_q}{V}$$ heißt "Ladungsträgerdichte". Damit kann man das Ergebnis etwas kürzer schreiben:

(***)

$$U_H=\frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \frac{1}{\rho_N\, e}$$

Der Bruch

$$\frac{1}{\rho_N\, e} = \frac{V}{N_q\,e}$$ heißt Hallkonstante $$R_H$$ und ist eine Materialeigenschaft, die von der Ladungsträgerdichte abhängt. Sie ist gerade der Kehrwert der Ladungsdichte des Leiters. Je kleiner die Ladungsdichte, desto größer die Hallkonstante.

Ergebnisse

Hallsonde zur Messung der Feldstärke

Da die Hallspannung proportional zur Magnetfeldstärke ist, kann man die Feldstärke messen! Als Sonde dient ein stromdurchflossenes Leiterstück. Mit Hilfe des Magnetfeldes einer Spule kann man die Sonde eichen.

Abhängigkeit der Hallspannung

$$U_H=R_H \, \frac{\mu_0 \, H \, I}{d} \quad \text{mit der Hallkonstante}\quad R_H = \frac{1}{\rho_N\, e} \quad \text{und der Ladungsträgerdichte}\quad \rho_N = \frac{N_q}{V}$$ Die Hallspannung ist proportional zur Magnetfeldstärke (Flussdichte) und zur Stromstärke, antiproportional zur Dicke des Leitermaterials und zur Ladungsträgerdichte.

Um eine möglichst große Hallspannung in einem Magnetfeld zu erreichen, gibt es drei Möglichkeiten:

1. Man verwendet eine hohe Stromstärke I. Das ist unpraktisch, weil sich der Leiter erwärmt und man viel Energie benötigt.
2. Man verwendet einen Leiter mit geringer Dicke d.
3. Man verwendet ein Material mit einer großen Hallkonstante. Dazu muss die Ladungsträgerdichte klein sein. Das ist einleuchtend, denn bei kleiner Ladungsträgerdichte müssen sich für den gleichen Strom die Ladungsträger schneller bewegen und so entsteht eine große Lorentzkraft auf die einzelnen Ladungsträger. In der Praxis verwendet man deshalb dotierte Halbleiter.

Vorzeichen der Ladungsträger

Vom Vorzeichen der Hallspannung kann man auf das Vorzeichen der Ladungsträger schließen. Hiermit kann man zeigen, dass in Metallen die Ladungsträger negativ sind und in p-dotierten Halbleitern positiv.

Geschwindigkeit der Ladungsträger

Ist die Feldstärke bekannt, so kann man die Geschwindigkeit der Ladungsträger, z.B. der Elektronen bestimmen. Dazu schreibt man die Gleichung (*) um:

$$v=\frac{U_H}{\mu_0 \, H \, b}$$

Anzahl der Ladungsträger pro Volumen

Auch die Anzahl der freien Ladungsträger kann mit diesem Versuch bestimmt werden! Dazu muss man nur (***) nach der Ladungsträgerdichte auflösen:

$$\rho_N=\frac{\mu_0 \, H \, I}{U_H \, d \, e}$$

Die einfache Messung von diesen makroskopischen Größen läßt es also zu auf atomare Eigenschaften des Leiters zu schließen! Kennt man noch das Molgewicht des Leiters, so kann man z.B. auf die Anzahl der freien Elektronen eines Metalls schließen!

Zwei beispielhafte Werte für ein Metall und einen Halbleiter:

Material	Hall-Konstante $$\frac{V}{N_q\,e}$$	Ladungsdichte $$\frac{N_q\,e}{V}$$	Ladungsträgerdichte $$\frac{N_q}{V}$$	molare Ladungsträgerdichte $$\frac{N_q}{n}$$
Kupfer	$$-50\cdot 10^{-6}\,\rm\frac{{cm}^3}{C}$$	$$-20000\,\rm\frac{C}{{cm}^3}$$	$$1{,}25\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}$$	$$8{,}9\cdot10^{23}\,\rm\frac{1}{mol}$$
Germanium p-dotiert	$$5000\,\rm\frac{{cm}^3}{C}$$	$$0{,}2\cdot10^{-3}\,\rm\frac{C}{{cm}^3}$$	$$1{,}25\cdot10^{15}\,\rm\frac{1}{{cm}^3}$$	$$1{,}7\cdot10^{16}\,\rm\frac{1}{mol}$$

Das Kupfer hat also pro Volumen viel bewegliche Ladung zur Verfügung, das dotierte Germanium um den Faktor

$$10^8$$ weniger!

Ein mol eines Stoffes enthält ca.

$$6\cdot 10^{23}$$ Atome. Das heißt, bei Kupfer stellt jedes Atom ein Elektron zum Ladungstransport zur Verfügung. Beim Germanium ist nur eines von 35 Millionen Atomen dotiert und stellt ein "Loch" zum Ladungstransport.