Die Spule
(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)
Felder können Energie speichern. Zieht man einen Nord- und einen Südpol auseinander, dann wird die benötigte Energie im Magnetfeld gespeichert. Das Feld kann die beiden Pole wieder zusammenziehen, wobei die gespeicherte Energie wieder frei wird. Diese qualtitative Betrachtung haben wir auch für das elektrische und gravitative Feld angestellt.
Die Betrachtungen zur Energie des elektrischen Feldes führt man am Beispiel einer idealen Spule durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
Die Energiemenge einer Spule läßt sich auch quantitativ angeben, es gibt große Ähnlichkeiten zu anderen Energiemengen:
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magnetische Feldenergie |
Spule mit der Induktivität L und Strom der Stärke I |
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elektrische Feldenergie |
Kondensator mit der Kapazität C und der Spannung U |
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Bewegungsenergie |
Gegenstand mit der Masse m und der Geschwindigkeit v |
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Berechnung der Energiemenge einer Spule
Um die Energiemenge eines Magnetfeldes zu berechnen, betrachtet man das durch Selbstinduktion verzögerte Einschalten des Lämpchens mit einer in Reihe geschalteten Spule. Erst nachdem der maximale Spulenstrom erreicht ist, wird die gesamte Energie vom Netzgerät an die Lampe geliefert. Vorher wird die Energie benötigt, um das Magnetfeld aufzubauen und den Eisenkern zu magnetisieren.
Die in der Spule gespeicherte Energie kann nur von der Stärke des Maximalstroms und Eigenschaften der Spule, wie Windungsanzahl, usw. abhängen. Es ist insbesondere egal wie der maximale Strom erreicht wird, ob schnell oder langsam, gleichmäßig oder ungleichmäßig.
Die zu einem Zeitpunkt an die Spule übertragene Energie wird von der Leistung bestimmt. Die Gesamtenergie erhält man dann als Integral über die momentane Änderungsrate der Energie:
- [math] \dot E(t) = P(t)[/math]
- [math] E_{mag}= \int \dot E(t)\, dt = \int P(t)\, dt[/math]
Je größer die Stromstärke durch und die Spannung an der Spule, desto größer der Energiefluß in die Spule, die Leistung ist das Produkt von Spannung und Stromstärke:
- [math] E_{mag}= \int P(t)\, dt = \int U(t)\, I(t) \, dt[/math]
Die Selbstinduktionsspannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke, der Proportionalitätsfaktor ist gerade die Induktivität der Spule:
- [math] U(t) = L\, \dot I(t)[/math]
Somit ergibt sich für die Energie der Spule das Integral:
- [math] E_{mag}= L\, \int \dot I(t) \, I(t) \, dt[/math]
Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Integral zu lösen. Am einfachsten ist es "gut zu raten". Eine Stammfunktion ist nämlich [math] \frac{1}{2} \, I(t)^2[/math], was man durch Ableiten mit der Kettenregel bestätigen kann:
- [math] \left(\frac{1}{2}\, I(t)^2\right)^{\cdot} = \frac{1}{2}\cdot 2\, I(t) \cdot \dot I(t)[/math]
Also berechnet sich das Integral zu:
- [math] E_{mag}= L\,\int \dot I(t) \, I(t) \, dt = L\, \left[\frac{1}{2} I(t)^2 \right]_0^{I_{max}} = \frac{1}{2} \, L\, I_{max}^2[/math]
- oder mit der maximalen Leistung (folgt!)
Der Einfachheit halber nimmt man an, dass die Stromstärke linear innerhalb der Zeit [math]t_{max}[/math] auf [math]I_{max}[/math] ansteigt. Die Stromstärkeänderung ist also konstant, und damit auch die Selbstinduktionsspannung:
- [math]U = - L \, \dot I = - L\, \frac{I_{max}}{t_{max}}[/math]
[math][/math]
Links
- Berechnung der Energie des Magnetfelds einer Spule ohne Substitution
- Energie einer Spule Berechnung mit Integration durch Substitution
