Energie und Impuls (Potential und Kraftverlauf) einer mechanischen Schwingung

Die Wege von Impuls und Energie

Ein Körper kann nie alleine schwingen. Er braucht einen Partner.

Zwei Körper schwingen

E doppelt so schnell wie p

Ein Vergleich der Darstellungen mit Kräften und mit dem Impulsfluss bei einer Feder unter Zugspannung.

Der Impulsfluss während einer Schwingung.

Der Impuls- und Energiefluss.

Die Erde als Schwingungspartner

Erde hat (fast) keine Energie

Die Erde als Schwingungspartner.

Grafische Darstellungen

in Abhängigkeit von der Zeit

Die Elongation Y und die Geschwindigkeit V in Abhängigkeit der Zeit.

Die Energie der Feder E_Feder, die Bewegungsenergie des schwingenden Körpers E_kin und die Gesamtenergie E_ges in Abhängigkeit der Zeit.

in Abhängigkeit vom Ort

Die Energieformen eines (horizontalen) Federpendels in Abhängigkeit vom Ort.

Formeln

Energie:

In Abhängigkeit von der Frequenz und der Amplitude: (E prop f^2 und y^2)

In Abhängigkeit von der Federstärke und der Amplitude: (E prop D und y^2)

Impuls: Ist nicht konstant!

Aufgaben

1 Schwebung

Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.

2 Überlagerung

Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y₁ und y₂ entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:

1. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)[/math]
2. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)[/math]
3. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)[/math]

3 Energie

Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?

4 Energie

Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?

5 Energie(y,D,m)

Wie verändert sich die in einer Federschwingung enthaltene Energiemenge, wenn

1. man die Amplitude verdoppelt?
2. man die Federhärte verdoppelt?
3. man die Masse verdoppelt?

und dabei jeweils die anderen Größen konstant hält.

6 Energie(f)

Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.

7 Schwingung bei bekannter Energie

Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden. Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?

8 Wasserstoffmolekül

Ein H₂-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen. Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10¹¹ Hz.

Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen. Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10^-10m schwingen?

(Fehlende Angaben entnehmen sie dem Buch oder dem www.)

9 E_kin = E_Spann

Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?

10 Zeitlicher Mittelwert von E_kin und E_Spann

Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel. Hinweise:

[math]E_{kin}(t)=m/2 \, v(t)^2 \qquad E_{pot}=D/2 \, y(t)^2[/math]

Den Mittelwert einer Funktion f(x) von x₁ bis x₂ bestimmt man mit Hilfe des Integrals:

[math]\bar f = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx[/math]

Anschaulich bestimmt man zur Fläche zwischen Schaubild und x-Achse ein Rechteck gleicher Fläche. Die Höhe des Rechtecks ist gerade der Mittelwert.