Woran man eine harmonische Schwingung erkennt (Vier gleichwertige Kriterien)
Inhaltsverzeichnis
Die harmonische Schwingung
Unter allen in der Realität (in der Natur, wem es besser gefällt) vorkommenden Schwingungen sind die sogenannten harmonischen Schwingungen ein mathematisch besonders gut zu beschreibender Teil. Zum Glück sind alle Schwingungen näherungsweise harmonisch, vor allem bei kleinen Amplituden.
Die harmonischen Schwingungen kann man an vier gleichwertigen Kriterien erkennen:
- Die Rückstellkraft hängt linear von der Auslenkung ab. [math]F(y)=-Dy[/math]
- Der zeitliche Verlauf der Auslenkung ist sinusförmig. [math]y(t) = \hat y \sin(\omega t)[/math]
- Das Zeigermodell ist zur Beschreibung geeignet.
- Die Differentialgleichung [math]\ddot y = - \alpha y[/math] ist erfüllt.
Eine weitere wichtige Eigenschaft, die aus allen der vier Kriterien folgt (ist sie auch gleichwertig???) ist:
- Die Frequenz einer harmonischen Schwingung hängt nicht von der Amplitude ab.
Bei nichtharmonischen Schwingungen spricht man auch von Nichtlinearitäten, wegen des nichtlinearen Kraftverlaufs.
Berechnung der Frequenz
Die Fequenz einer harmonischen Schwingung läßt sich auf zwei Wegen berechnen:
Mit den Bewegungsgesetzen und dem linearen Kraftverlauf
Die maximal wirkende Rückstellkraft läßt sich auf zwei Arten berechnen. Einmal über die maximale Beschleunigung und einmal über die maximale Auslenkung:
[math]\hat F = m \hat a = -D \hat y[/math]
[math]\Rightarrow -m \hat y \omega^2 = -D \hat y[/math]
[math]\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]
Mit der Differentialgleichung
Es soll gelten:
[math]\ddot y = -\frac{D}{m} y[/math] und [math]y = \hat y \sin(\omega t)[/math] und [math]\ddot y = -\hat y \omega^2 \sin(\omega t)[/math]
[math]\Rightarrow \frac{\ddot y}{y} = -\frac{D}{m} = -\omega^2[/math]
Daraus folgt also:
[math]\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}[/math]
Beweise der Gleichwertigkeit der vier Kriterien
Zeigermodell und Sinusförmigkeit
Das Zeigermodell und der sinusförmige Verlauf sind gleichwertige Aussagen, was man direkt aus den Berechnungen im Zeigermodell durch die Projektion des Zeigers auf die y-Achse sieht.
Von der Sinusförmigkeit auf den linearen Kraftverlauf
Die Beschleunigung hängt direkt mit der wirkenden Kraft zusammen, daher folgt:
[math]F(t)= m a(t) = -m \hat y \omega^2 sin(\omega t)[/math]
Wegen [math]y(t)=\hat y \sin(\omega t)[/math] folgt:
[math]F(t) = -m \omega^2 y(t) = -D y(t)[/math]
Die Kraft ist also proportional zur Auslenkung mit der Federkonstanten [math]D=m \omega^2[/math].
Vom linearen Kraftverlauf auf die DGL
Zur Aufstellung der DGL wird die Kraft einmal in Abhängigkeit vom Ort und einmal in Abhängigkeit von der Zeit betrachtet und gleichgesetzt. (Vgl. die Ausführliche Erklärung hier.)
[math]F(t)=F(y)[/math]
[math] \Rightarrow m a(t) = - D y(t)[/math]
[math] \Rightarrow m \ddot y(t) = - D y(t)[/math]
[math] \ddot y(t) = - \frac{D}{m} y(t)[/math]
Von der DGL zur Sinusförmigkeit
Das der sinusförmige Verlauf eine Lösung der DGL ist, ist leicht nachzuprüfen. Dazu muss man nur [math]y=\hat y \, sin(\omega\, t)[/math] zweimal ableiten. Es ist aber leider nicht so leicht zu zeigen, dass es keine anderen Lösungen geben kann. Dies ist aber der Fall.
