Energie und Impuls (Potential und Kraftverlauf) einer mechanischen Schwingung
Inhaltsverzeichnis
Versuche und Beispiele
Versuch: Ein Pendel auf einem Skateboard
- Beobachtung
Kann man sich hier als Video anschauen.
Versuch: Schwingende Wagen
- Beobachtung
Kann man sich hier als Video anschauen.
Animation
Zur Vereinfachung der Situation ist bei dieser Animation die Feder jeweils im Kugelmittelpunkt befestigt. Bei einer realen Situation würde sich die Befestigung natürlich an den Rand der Kugel verschieben.
Man kann die Masse der rechten Kugel und die Gesamtenergie der Schwingung einstellen.
Zur Steuerung läßt sich die Animation in Zeilupe ablaufen oder anhalten. Dann läßt sich die Zeit auch mit dem Schieberegler verstellen.
Die Wege von Impuls und Energie
Ein Körper kann nie alleine schwingen. Er braucht einen Partner.
Selbst bei einem Federpendel, das z.B. an einer Wand befestigt ist (bei dem es folglich so aussieht, als würde nur ein Körper schwingen), schwingt immer ein anderer Körper, in diesem Fall die Erde, mit.
Die Erklärung liefert die Impulserhaltung: Die Summe der Impulse ist, im Schwerpunktsystem, immer Null.
Beide Körper enthalten zu jedem Zeitpunkt die gleiche Impulsmenge, allerdings mit entgegengesetzter Richtung. Wegen der wesentlich größeren Masse der Erde ist deren Geschwindigkeit allerdings nahezu zu vernachlässigen, wodurch es dem Betrachter so erscheint, als würde nur das Federpendel schwingen.
Die beiden Körper schwingen mit einem feststehenden gemeinsamen Schwerpunkt. Bei dem an der Wand befestigten Federpendel wäre der gemeinsame Schwerpunkt, da die Erde ja eine viel größere Masse hat als der Rest des Federpendels, nahezu identisch mit dem der Erde.
Während einer Schwingung fließt die Energie doppelt so schnell zwischen den Körpern (Bewegungsenergie) und der Feder (potentielle Energie) hin und her, wie der Impuls zwischen den zwei Körpern.
Dies lässt sich gut am nebenstehenden Bild verdeutlichen.
Wenn die Feder vollständig auseinandergezogen (Nr.0) oder zusammengedrückt (Nr.4) ist, enthält sie alle Energie des Systems (Beide Körper bewegen sich an genau diesem Punkt nicht). Ist sie entspannt (Nr.2 und Nr.6), so enthält sie gar keine. Die Energie hat sich also während einer Periode zwei mal zwischen Feder und den Körpern hin und her bewegt.
Der Impuls wandert hingegen nur einmal zwischen den Körpern hin und her: Sind die Kugeln in der Ruhelage (Nr.3 und Nr.6), so ist der Impuls maximal oder minimal.
Der (nach rechts gerichtete) Impuls ist also beim Durchgang durch die Ruhelage einmal in der linken Kugel (Nr.3) und einmal in der rechten Kugel (Nr.6).
Lage des Schwerpunkts und Federhärten der Teilsysteme
Der Schwerpunkt ist so etwas wie das gewichtete Mittel der beiden Orte. Das ist vergleichbar dem Durchschnitt einer Klassenarbeit:
- [math]S=\frac{m1\, s_1 + m_2\, s_2}{m_1+m_2}[/math]
Betrachtet man die Entfernung der einzelnen Gegenstände vom gemeinsamen Schwerpunkt, so findet man, dass sie gerade umgekehrt proportional zu den Massen sind:
- [math]M_1 \, l_1 = m_2\, l_2[/math]
Man kann nun nur eine Seite der Schwingung betrachten, indem man die Feder am Ort des Schwerpunktes in Gedanken durchschneidet und dort eine sehr große Masse anbringt. Dies ist auch der Fall, wenn man die Erde als Schwingungspartner hat.
Da die Feder nun kürzer geworden ist, hat sie auch eine andere Federhärte. Denn bei gleicher Änderung der Länge ist nun die wirkende Kraft größer. Ist die Feder nur halb so lang, verdoppelt sich die Federhärte. Die "neuen" Federhärten der Teilfedern betragen deshalb:
- [math]D_1=\frac{l_1}{l}D \qquad D_2=\frac{l_2}{l}D[/math]
Impuls- und Energiemengen der Schwingungspartner
Ist die Erde (oder ein ähnlich großer Körper) einer der zwei schwingenden Körper und der andere Körper ist erheblich kleiner, so nimmt die Erde zwar Impuls auf, aber kaum Energie.
- [math]E_{Erde}={1 \over 2} MV^2 = {P^2 \over 2M} \qquad .[/math] da [math] V = {P \over M} [/math]
- [math]E_m={1 \over 2} mv^2 = {p^2 \over 2m} \qquad .[/math] da [math] v = {p \over m} [/math]
Weil aber der Impuls beider Körper gleich ist [math]( P=p )[/math], folgt:
- [math]\Rightarrow E_{Erde} \lt \lt E_m[/math]
Grafische Darstellungen
Die Diagramme sind für eine einfache harmonische Feder-Schwingung eines Wagens berechnet worden. Sie sehen aber für nichtharmonische Schwingungen ähnlich aus.
Da der Wagen zusammen mit der Erde schwingt, kann man seinen Schwingungspartner als ruhend betrachten. Alle Diagramme beschreiben die Eigenschaften des Wagens aus der Sicht eines auf der Erde ruhenden Betrachters.
in Abhängigkeit von der Zeit
Hier kann man sehen, wie die Elongation und die Geschwindigkeit (und wegen [math]p=m\, v[/math] auch der Impuls) sich mit der Zeit verändern.
Die Bewegungsenergie hängt über [math]E_{kin}=1/2 \, m v^2[/math] direkt mit der Geschwindigkeit zusammen. Man erkennt auch gut, dass die Energie in jeder Periode zweimal die Form wechselt. Die Gesamtenergie bleibt konstant.
in Abhängigkeit vom Ort
In Abhängigkeit von der Elongation steigt die potentielle Energie quadratisch, während die kinetische Energie quadratisch abnimmt.
Die Gesamtenergie ist die Addition beider Energien, bleibt also konstant.
Schwingung als Bewegung in einem Potential
Es fällt auf: Steigt die potentielle Energie stark an, dann ist auch die bremsende Kraft groß. Und ist die Rückstellkraft positiv, aber klein, so nimmt die potentielle Energie langsam ab.
Energieübertragung mit einer Kraft
[math]E\approx F\, s[/math]
Fläche unter dem Kraftverlauf (Kraft-Ort-Kurve) [math]F(s)[/math]
[math]E=\int F(s) ds = \bar F \, s[/math]
Steigung von [math]E_{pot}[/math]
[math]F\approx \frac{E}{s} = \frac{\triangle E}{\triangle s}[/math]
[math]F=E' [/math]
Von der potentiellen Energie zum Potential durch Normierung auf 1kg: [math]\varphi_{pot}=\frac{1}{m}\, E_{pot}[/math]
Vorstellung: Nett, aber nicht exakt: Gegenstand rutscht im Potential hin- und her.
