Ladungen im magnetischen Feld (Lorentzkraft)

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(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)

Beispiele

  • In Island gibt es häufig Polarlichter zu sehen.
    (Zeitraffer-Video aus Nord-Norwegen)

  • Dieses Polarlicht in Berlin sieht man nur sehr selten.

  • Polarlichter vom Satelliten aus gefilmt. (animiert)

  • Das Magnetfeld der Erde schützt uns vor kosmischer Strahlung.
    (Vortrag: "Wie baut man eigentlich Raumschiffe?")
    "Sonnenstürme" können Satelliten und elektronische Geräte auf der Erde stören.

  • Krebs kann man mit Neutronenbeschuß behandeln.

  • Die Neutronenstrahlung erzeugt man mit schnellen Protonen aus einem Zyklotron.

  • Der Ringbeschleuniger HERA in Hamburg hat einen Durchmesser von einem Kilometer.

  • Die größte Maschine der Welt ist der Ringbeschleuniger des CERN in Genf. Auch er liegt unter der Erde und hat einen Durchmesser von über 4km.

Bestimmung von e/m im Fadenstrahlrohr

Aufbau

Innerhalb einer Glaskugel wird wie in einem Oszilloskop ein Elektronenstrahl erzeugt. Die Elektronen liefert, aufgrund des glühelektrischen Effekts, eine durch Strom erhitzte Glühwendel. Mit Hilfe einer Beschleunigungsspannung von ca. 150 Volt zwischen Glühwendel und Anode werden die Elektronen beschleunigt. Die Glaskugel ist von Luft evakuiert und mit Wasserstoff unter sehr niedrigem Druck von nur einem Pascal (0,01mbar) gefüllt. Durch den Wasserstoff wird der Elektronenstrahl sichtbar, denn die Elektronen regen beim Zusammenstoß mit den Wasserstoffmolekülen diese an, heben also Elektronen des Moleküls auf ein höheres Energieniveau. Fällt das Molekül-Elektron wieder auf das niedrige Niveau zurück, wird blaues Licht ausgesendet.
Der Wehneltzylinder dient der Fokussierung des Elektronenstrahls. Er liegt zylinderförmig um die Glühwendel und wird durch eine Spannung zur Glühwendel von ca. 15V negativ geladen. Die Ablenkplatten sind nicht, wie in der Gebrauchsanleitung gefordert, an die Anode angeschlossen; die Ergebnisse sind so besser.

Das Spulenpaar, "Helmholtzspule" genannt, liefert ein relativ homogenes Feld zwischen den Spulen. Der Abstand R zwischen den Spulen ist genausogroß wie der Radius der Spulen.

Die magnetische Feldstärke innerhalb der Helmholtzspule kann man entweder mit Hilfe einer Formel aus der Stromstärke und dem Spulenradius berechnen oder man misst die Feldstärke direkt mit einer Hallsonde.

  • Fadenstrahlrohr mit Spannungsversorgung für die Glühwendel und die Beschleunigungsspannung. Rechts die Hallsonde.

  • Versuch Fadenstrahlrohr Aufbau Röhre.jpg

  • Anschlüsse am Grundbrett

  • Der Abstand der Spulen ist gleich dem Spulenradius.

Beobachtungen

  • Die Elektronen bewegen sich auf einer Kreisbahn.
  • Der Radius des Kreises ist groß, wenn:
    • die Beschleunigungsspannung groß ist, oder
    • die Spulenstromstärke klein ist.

  • Bei Tageslicht ist der Elektronenstrahl kaum zu sehen.

  • Die Beschleunigungsspannung ist zu gering.

  • Der Elektronenstrahl ohne Magnetfeld.

  • Kleine Feldstärke oder große Spannung.

  • Mittlere Feldstärke oder mittlere Spannung.

  • Große Feldstärke oder kleine Spannung.

Messwerte

E-m-Bestimmung Messwerte.png

Auswertung

E-m-Bestimmung Skizze.jpg

Auf einen elektrischen Strom wirkt, senkrecht zu Strom- und Feldlinienrichtung, in einem Magnetfeld eine Kraft, die man Lorentzkraft nennt. Offensichtlich wirkt die Lorentzkraft auch auf die bewegten Elektronen außerhalb eines Kabels. Das Kabel ist also nicht zwingend notwendig.

Weil die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, wird das Elektron auf einer Kreisbahn gehalten. Wie ein Hammerwerfer beim Drehen des Hammers[1].

Die Richtung der Lorentzkraft bestimmt man mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand:

  • Daumen in technische Stromrichtung - Entgegen (!) der Bewegungsrichtung der Elektronen
  • Zeigefinger in Magnetfeldlinienrichtung
  • Mittelfinger zeigt die Kraftrichtung

Um die Veränderungen des Radius mit der Beschleunigungsspannung und der Spulenstromstärke zu verstehen, muß man sich die Abhängigkeiten der Größen genauer anschauen.
Mit der Spulenstromstärke steigt die magnetische Feldstärke an. Damit steigt auch der Betrag der Lorentzkraft und die Elektronen werden auf eine kleinere Kreisbahn gezwungen.
Mit steigender Beschleunigungsspannung nimmt die Geschwindigkeit der Elektronen zu, weswegen man bei gleicher Zentripetalkraft einen größeren Radius erwartet. Andererseits nimmt auch auch die Lorentzkraft bei größerer Geschwindigkeit zu, was zu einer Verkleinerung des Radius führt. Die Veränderung des Radius mit der Beschleunigungsspannung ist daher durch diese qualitativen Überlegungen nicht eindeutig zu beantworten.

Zur quantitativen Beschreibung kann man den Betrag der Lorentzkraft berechnen:

[math]F_L=\mu_0 \, H \, I\, l[/math]

Die Stromstärke muss man mit der Ladung und der Geschwindigkeit des Elektrons ausdrücken:

Lorentzkraft Zusammenhang Strom bewegte Ladung.png
[math] \begin{alignat}{2} F_L &= \mu_0 \, H \, \frac{Q}{t} \, l & \qquad &\text{Stromstärke ist Ladung pro Zeit}\\ &= \mu_0 \, H \, Q \, \frac{l}{t} & \qquad &\text{Länge pro Zeit ist die Geschwindigkeit}\\ &= \mu_0 \, H \, e \, v & \qquad &\text{die Ladung beträgt hier } e\\ \end{alignat}[/math]

Damit hat man ein wichtiges Zwischenergebnis gefunden:

Lorentzkraft auf eine senkrecht zu einem Magnetfeld bewegte elektrische Ladung:

[math]F_L = \mu_0 \, H \, Q \, v[/math]

Der Zusammenhang zwischen wirkender Kraft und den Abmessungen der Kreisbahn ergibt sich aus der Mechanik der Kreisbewegungen. Die Zentripetalkraft beträgt:

[math]F_Z=\frac{m\,v^2}{r}[/math]

In diesem Fall ist die Lorentzkraft ja gerade die Zentripetalkraft, also kann man die wirkende Kraft auf zwei verschiedene Arten berechnen:

[math] \mu_0 \, H \, e \, v =F= \frac{m\,v^2}{r} \quad | \, \mathopen: v[/math]

[math](*)\quad \mu_0 \, H \, e = \frac{m\,v}{r} [/math]

Um die Größe des Kreises zu bestimmen, kann man nach dem Radius auflösen:

[math]r=\frac{m\,v }{e\,\mu_0\, H} \quad \Rightarrow \quad r \sim \frac{v}{H}[/math]

Die Rechnung bestätigt nochmals die Abnahme des Radius mit steigender Stromstärke, bzw. steigender Feldstärke, denn der Radius ist antiproportional zur Feldstärke.
Jetzt ist auch klar, was bei steigender Beschleunigungsspannung passiert: Bei einer größeren Beschleunigungsspannung steigt die Lorentzkraft linear an. Die für den gleichen Radius nötige Zentripetalkraft steigt aber quadratisch mit der Geschwindigkeit. Daher reicht die Lorentzkraft nicht mehr aus und die Bahn wird größer. Insgesamt ist der Radius proportional zur Geschwindigkeit der Elektronen.

Das Ziel der Messung ist es, etwas über die Eigenschaften eines Elektrons zu erfahren. Daher sortiert man Gleichung [math](*)[/math] in unbekannte Eigenschaften des Elektrons, also die Ladung und die Masse, und in die durch die Messung bestimmbaren Größen der Elektronengeschwindigkeit, der Feldstärke und des Radius:

[math](**)\quad \frac{e}{m} = \frac{v}{\mu_0\,H\,r}[/math]

Den Radius kann man direkt messen. Die Geschwindigkeit der Elektronen muss man über die Beschleunigungsspannung bestimmen. Durchlaufen die Elektronen das elektrische Feld, so gibt das Feld potentielle Energie ab und die Elektronen gewinnen an kinetischer Energie:

[math] \begin{alignat}{2} W_{kin} &= W_{pot} &\qquad &\text{Energieerhaltung}\\ \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 &= e\, U &\qquad &|\cdot 2 \quad |\,\mathopen: \, m\\ v^2 &= 2\,\frac{e}{m}\,U \\ \end{alignat}[/math]

Anstatt durch Wurzelziehen nach der Geschwindigkeit aufzulösen und dann in Gleichung [math](**)[/math] einzusetzen, ist es einfacher Gleichung [math](**)[/math] zu quadrieren und dann [math]v^2[/math] einzusetzen:

[math] \begin{alignat}{2} \left(\frac{e}{m}\right)^2 &= \frac{v^2}{\mu_0^2\,H^2\,r^2} \\ \Rightarrow \quad \left(\frac{e}{m}\right)^2 &= \frac{2\,\frac{e}{m}\,U}{\mu_0^2\,H^2\,r^2} \quad | \,\mathopen: \, \frac{e}{m}\\ (***) \quad \frac{e}{m} &= \frac{2\,U}{\mu_0^2\,H^2\,r^2}\\ \end{alignat}[/math]

Das Feldlinien- und Feldflächenbild zeigt die gute Homogenität zwischen den beiden Spulen.

Wenn man die Feldstärke H mit einer Hallsonde misst, kann man damit die Ladung pro Masse des Elektrons bestimmen!
Die Feldstärke im Innern der Helmholtzspule läßt sich auch in Abhängigkeit vom Spulenradius, bzw. Spulenabstand R, der Windungszahl einer Spule n und der Stromstärke I berechnen. Die Formel kann man in Gleichung [math](***)[/math] einsetzen:

[math] \begin{alignat}{2} H &=\frac{8}{\sqrt{125}}\cdot \frac{n\, I}{R} \\ \Rightarrow \quad H^2 &= \frac{64}{125}\cdot \frac{n^2\,I^2}{R^2} \\ \Rightarrow \quad \frac{e}{m} &= \frac{2\cdot 125\cdot U\, R^2}{64\cdot \mu_0^2\,n^2\, I^2\,r^2}\\ (****) \quad \frac{e}{m} &= \frac{125\cdot U\, R^2}{32\cdot \mu_0^2\,n^2\, I^2\,r^2}\\ \end{alignat}[/math]

[math][/math]

Nun stehen endlich auf der rechten Seite nur noch direkt messbare Größen, womit man die Ladung pro Masse, die spezifische Ladung des Elektrons, bestimmen kann.

Die Ladung eines Elektrons kann man mit dem Millikan-Versuch messen. Mit Hilfe der spezifischen Ladung kann man daraus die Masse eines Elektrons berechnen!

Versuch: Elektronenstrahlen schräg zum Magnetfeld

Beobachtung

  • Elektronenstrahl senkrecht zur Feldlinienrichtung

  • Strahl leicht gekippt

  • Strahl stärker gekippt

  • ... und mehr

  • Hier erkennt man bereits den kleineren Radius

  • Aus dem Blickwinkel eine sehr verzerrte Spirale

  • Der zum Magnetfeld parallele Strahl

Aufbau der Bildröhre eines Fernsehers

Die Fernsehröhre ist eine besondere Form der Braun’schen Röhre [1], 1897 von Ferdinand Braun entwickelt. Anstatt mit geladenen Ablenkplatten erfolgt die Ablenkung des Elektronenstrahles hier mit Hilfe elektrischer Spulen (Magnetische Ablenkung). Die Technik wird auch bei Computerbildschirmen verwendet.

Mehr dazu... [2]

Versuch

In einem Versuch wiesen wir diese Funktionsweise an einem Röhrenmonitor nach.

Führt man an diesen einen Magneten, ergeben sich Bildverschiebungen und Farbstörungen [3], die erst mit der "Entmagnetisierung" wieder verschwinden.

Das Elektronenmikroskop

Teilchenbeschleuniger und Teilchendetektoren

-Ringbeschleuniger -Blasenkammer -radioaktive Strahlen im Magnetfeld


Polarlichter und die magnetische Flasche

Versuch: Elektronen im inhomogenen Feld

Beobachtung

  • Der Elektrononstrahl läuft parallel zu den Feldlinien des Stabmagneten direkt auf den Südpol zu und wird gebündelt.

  • Der Magnetpol wurde nach unten verschoben.

  • ... und noch weiter nach unten.

  • Die Position der Magnete ändert das Ergebnis sehr stark.

  • Ein zweiter Magnet reflektiert den Strahl zurück.

  • Es entsteht eine "magnetische Flasche"

  • Eine Simulation der Teilchenbewegung im Magnetfeld der Erde zum Herunterladen. (Matthias Borchert)

Das Massenspektroskop ; Geschwindigkeitsfilter ; Wienscher Filter

Fußnoten

  1. ↑ Es gibt einen kleinen Unterschied zwischen dem kreisenden Elektron und dem kreisenden Hammer. Das Elektron hat durch das elektrische Feld der "Elektronenkanone" seine Energie bekommen und wird von der Lorentzkraft nicht beschleunigt. Der Hammerwerfer dagegen zieht nicht ganz senkrecht an dem Hammer, sondern ein kleines bisschen mehr in die Bewegungsrichtung des Hammers, um den Hammer zu beschleunigen.

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