Der Kondensator
(Kursstufe > Das elektrische Feld)
Ein einfacher Platten-Kondensator besteht aus zwei zueinander parallelen elektrisch leitenden Platten. Zwischen ihnen befindet sich häufig nicht nur Luft, sondern andere Materialien, die man dann "Dielektrikum" nennt.
Die Platten kann man elektrisch laden.
Zwei Aspekte sind für uns interessant:
- Das homogene Feld des Kondensators
Dieser Aspekt spielt bei vielen theoretischen Überlegungen eine große Rolle. Für das magnetische Feld betrachtet man das Feld einer Spule.
Ist der Plattenabstand gegenüber der Plattengröße klein, so kann man annehmen, dass sich nur zwischen den Platten ein elektrisches Feld befindet und außerhalb keines. Dieses Feld ist dann in Richtung und Stärke homogen.
So kann man den Energiegehalt des elektrischen Feldes untersuchen und auch Aussagen über das Verhalten von Materie im elektrischen Feld machen.
- Der Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher
In elektrischen Schaltungen befinden sich häufig Kondensatoren verschiedenster Bauart. Sie haben die Aufgabe Ladung und damit auch Energie zu speichern. Man findet sie z.B. in Fahrradstandlichtern oder in elektrischen Schwingkreisen aller Art. In der Wechselstromtechnik spielen sie eine große Rolle, ähnlich wie ein ohmscher Widerstand.
Dieser Platten-Kondensator wurde mit einer Spannung von 3,5kV geladen.
Im Feldlinienbild sieht man die Inhomogenität des el. Feldes an den Rändern des Kondensators
Verschiedene Bauformen von Kondensatoren.
Inhaltsverzeichnis
Der Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher
Vergleich mit einem aufgepumpten Fahrradreifen
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Die U-Q-Kennlinie und die Kapazität eines Kondensators
Beim Laden eines Kondensators nimmt nicht nur die Ladungsmenge auf den Platten zu, sondern auch die Spannung zwischen den Platten. Das entspricht der Zunahme der Druckdifferenz beim Aufpumpen eines Reifens oder Luftballons.
Trägt man die Spannung über der Ladung einer Platte auf, so erhält man eine U-Q-Kennlinie (U(Q)-Diagramm).
Eine anschauliche Vorstellung davon bekommt man beim Aufblasen eines Reifens oder eines Luftballons.
Wie unterscheidet sich wohl der Verlauf des p(V)-Diagramms bei einem Autoreifen von einem Diagramm eines Fahrradreifens?
Pumpt man einen Fahrradreifen auf, so steigt der Luftdruck im Reifen schnell an. Man kann die meisten Reifen bis mindestens 6bar aufpumpen bevor sie platzen, aber es passt nicht viel Luft hinein. Die p(V)-Kennlinie ist relativ steil.
Bei einem Autoreifen steigt der Druck nicht so schnell mit dem zugeführten Luftvolumen an. Die meisten Autoreifen soll man nur bis ca. 3bar aufpumpen, aber es passt viel mehr Luft in den Autoreifen als in den Fahrradreifen. Die p(V)-Kennlinie ist relativ flach.
Je dehnbarer der Reifen oder der Ballon, desto flacher steigt die Druckkurve an. Die Steilheit der Druckkurve ist also ein Maß für die Festigkeit der Hülle.
Der ideale Kondensator
Wir betrachten einen idealen Plattenkondensator, bei dem sich ausschließlich zwischen den Platten ein homogenes Feld befindet, mit folgenden Eigenschaften:
- Plattenfläche A
- Plattenabstand d
- Ladung Q
- Spannung U
Der Zusammenhang zwischen Ladung und Feldstärke
Die Feldstärke ist proportional zur Ladung, wegen der Ladung als Quellenstärke des elektrischen Feldes:
- [math]\epsilon_0 \, E \, A = Q[/math]
- [math]\Rightarrow \quad E = \frac{1}{\epsilon_0}\,\frac{Q}{A}[/math]
Die Feldstärke ist proportional zur Flächenladungsdichte der Kondensatorplatten.
Der Zusammenhang zwischen Spannung und Feldstärke
Die Feldstärke ist gerade die räumliche Änderung ("Steigung") des Potentials:
- [math]E = \frac{\Delta\varphi}{\Delta s} = \frac{U}{d}[/math]
Der Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung: die Kapazität
Die Feldstärke des Kondensators kann man mit Hilfe der Ladungsmenge oder aber mit der anliegenden Spannung bestimmen. Beides setzt man gleich:
- [math]\frac{1}{\epsilon_0}\,\frac{Q}{A} = E = \frac{U}{d}[/math]
Jetzt kann man nach der Spannung auflösen:
- [math]U = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{d}{A}\, Q[/math]
Die Spannung ist also proportional zur gespeicherten Ladung
- [math]U \sim Q \quad \Leftrightarrow \quad U = k \, Q[/math] mit einer Proportionalitätskonstante [math]k=\frac{1}{\epsilon_0} \frac{d}{A}[/math].
Diese Konstante k könnte man in Hinsicht auf den mechanischen Vergleich die Festigkeit nennen. Weil man sich aber bei Kondensatoren vor allem dafür interessiert möglichst viel Ladung bei kleiner Spannung zu speichern, betrachtet man lieber den Kehrwert von k, also die "Weichheit" des Kondensators, das heißt wieviel Ladung pro Spannung hineinpasst:
Der konstante Quotient aus Ladung und Spannung eines idealen Kondensators heißt "Kapazität".
- [math]C=\frac{Q}{U} \quad \Leftrightarrow \quad Q = C\, U \qquad \Leftrightarrow \quad U = \frac{1}{C}\, U \qquad \rm{mit} \it \qquad C = \epsilon_0 \, \frac{A}{d} \quad \left[ C \, \right]= \rm 1\, Farad \;(F)[/math]
Lädt man einen Kondensator einer Kapazität von [math]0{,}5\,\rm F[/math] bis zu einer Spannung von [math]6\,\rm V[/math] auf, so speichert er [math]3\,\rm C[/math] Ladung.
Besser wäre die Benennung als "relative Kapazität", denn sie gibt an, wieviel Coulomb Ladung pro Volt Spannung gespeichert werden können.
Energiegehalt
Lädt man einen Kondensator auf, so verschiebt man Ladungen. Dabei ist Energie nötig, denn man verschiebt die Ladungen von einem niedrigen zu einem hohen Potential, also "bergauf". Die gesamte benötigte Energie steckt danach im elektrischen Feld des Kondensators.
Der Ladevorgang entspricht dem Aufpumpen eines Fahrradreifens. Man pumpt Luft vom niedrigen Umgebungsdruck zum hohen Druck im Reifen. Die dazu benötigte Energie steckt im aufgepumpten Reifen und kommt aus dem Menschen, der die Pumpe zusammendrückt.
Am Anfang des Aufpumpens ist es "leicht" die Pumpe zusammenzudrücken, man benötigt wenig Energie um die in der Pumpe enthaltene Luftportion in den Reifen zu drücken. Ist der Reifen schon ziemlich "prall" geht es viel "schwerer", man benötigt also für den Transport der gleichen Luftmenge viel mehr Energie!
Genauso ist es beim Laden des Kondensators:
Für die Verschiebung der Ladungsmenge [math]q[/math] bei einer Potentialdifferenz (Spannung) [math]\Delta \varphi = U[/math] braucht man die Energiemenge [math]E_{el}= q\, U[/math].
Während des Ladevorganges ist aber die Potentialdifferenz (Spannung) des Kondensators nicht konstant. Durch die größere Ladungsmenge auf den Platten steigt nämlich die Feldstärke und dadurch auch der Potentialunterschied an. In diesem Fall kann man die benötigte Energie als Fläche im Spannungs-Ladungs-Diagramm bestimmen.
Bezeichnet man die maximale Ladung auf einer Platte mit [math]Q[/math] und die maximale Spannung mit [math]U[/math], so folgt für die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:
- [math]E_{el}=\frac{1}{2} \, Q \, U [/math]
Mit der Kapazität [math]C=\frac{Q}{U}[/math] ergibt sich [math]U = \frac{1}{C} \, Q[/math] und [math]Q = C \, U[/math], was man einsetzen kann:
Energiegehalt eines idealen Kondensators:
- [math]E_{el}=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\, Q^2 = \frac{1}{2}\, C \, U^2 [/math]
Energiedichte
Versuch: Plattenabstand vergrößern bei konstanter Ladung
Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Danach vergrößert und verkleinert man den Abstand der Platten.
- Beobachtung
Beim Auseinanderziehen der Platten steigt die Spannung an. Schiebt man die Platten wieder auf den ursprünglichen Abstand zusammen, so stellt sich auch die ursprüngliche Spannung wieder ein.
Video des Versuchs. (Uni Würzburg)
- Folgerung
Die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke ist konstant:
- [math]E = \frac{1}{\epsilon_0}\frac{Q}{A}[/math]
Die räumliche Änderung des Potentials ist daher auch konstant. Bei größerem Abstand steigt deswegen die Potentialdifferenz, also die Spannung:
- [math]E = \varphi ' = \frac{U}{d} \quad \Rightarrow \quad U = E\, d [/math]
Je kleiner der Plattenabstand ist, desto geringer ist die Spannung bei gleicher Ladungsmenge. Die Kapazität des Kondensators ist antiproportional zum Plattenabstand!
Für das Auseinanderziehen der Platten ist Energie nötig, denn die Platten werden vom Feld zusammengezogen. Diese Energie steckt in dem immer größer werdenden Feld und kommt aus dem Menschen, der die Platten auseinanderzieht. Die Energiedichte beschreibt wieviel Energie pro Volumen im Feld gespeichert ist:
- [math] \begin{array}{rcl} \rho &=& \frac{W}{V} \\ &=& \frac{\frac{1}{2}C\,U^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, \frac{A}{d}\, (E\,d)^2}{A\,d}\\ &=& \frac{\frac{1}{2} \epsilon_0 \, A\, E^2 d^2}{A\,d^2}\\ &=& \frac{1}{2} \epsilon_0 \, E^2 \end{array} [/math]
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Die Energiedichte des elektrischen Feldes[1] ist proportional zum Quadrat der Feldstärke:
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Der Kondensator mit Dielektrikum
Versuch: Materialien im Kondensator
- Aufbau
Ein Plattenkondensator wird z.B. mit einer geriebenen Schallplatte oder mit einem Hochspannungsnetzgerät auf 10kV aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt.
Dann wird der Platten-Zwischenraum mit verschiedenen Materialien gefüllt: Kunststoff, Glas, Wasser,...
Dabei wird die Spannung mit einem statischen Voltmeter gemessen.
- Beobachtung
Beim Eintauchen der Gegenstände fällt die Spannung ab. Zieht man sie wieder heraus stellt sich annähernd die Ausgangsspannung wieder ein. Video des Versuchs. (Uni Würzburg)
Je nach Material fällt die Spannung unterschiedlich stark ab:
Ausgangsspannung: 10kV
Spannung mit Material:
Holz: 4kV
Glas: 5kV
Wasser:
- Interpretation
Die in den Kondensator eingebrachten Materialien sind Isolatoren, deswegen fließen keine Ladungen und die Ladungsmenge auf den Platten bleibt konstant.
Weil der Kondensator mit Material bei geringerer Spannung die gleiche Ladung speichert, ist also seine Kapazität größer geworden.
Die Feldstärke sollte wegen der gleichen Ladung pro Fläche eigentlich auch unverändert bleiben. Andererseits ist der Plattenabstand bei dem Versuch nicht geändert worden und weil die Potentialdifferenz mit Material kleiner geworden ist, muss, wegen [math]E=\frac{U}{d}[/math], die Feldstärke abgenommen haben. Was kann man das erklären?
Die Materialien verändern sich im elektrischen Feld. Die inneren Ladungen werden verschoben, das Material polarisiert oder influenziert. Solche polarisierbaren Isolatoren werden Dielektrika genannt. Durch die Polarisierung entstehen an den Rändern des Dielektrikums Polarisationsladungen [math]Q_{pol}[/math], die ein anderes Vorzeichen haben als die Ladungen auf den Platten. Zwei Argumentationen führen nun zum gleichen Ziel:
- Die neue Gesamtladung [math]Q_r = Q + Q_{pol}[/math] nimmt ab. Dadurch sinkt die Ladung pro Fläche und damit die Feldstärke:
- [math]E_r = \frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q_r}{A}[/math]
- Innerhalb des Dielektrikums baut sich ein ein elektrisches Gegenfeld auf. Das Feldstärke nimmt ab:
- [math]E_r = E + E_{pol}[/math]
Die Abnahme der Spannung (oder der Feldstärke) bzw. die Zunahme der Kapazität gibt an, wie gut das jeweilige Material polarisiert werden kann.
Das Verhältnis aus Ausgangsspannung und Spannung mit Dielektrikum wird als "Permittivität" oder auch als "Dielektrizitätszahl" [math]\epsilon_r[/math] bezeichnet. Bei einer Permittivität von [math]\epsilon_r=3[/math] ist die Feldstärke innerhalb des Dielektrikums nur noch 1/3 so groß wie ohne, die Spannung zwischen den Platten und die effektive Gesamtladung auf den Platten beträgt ebenfalls nur noch 1/3.
Das elektrische Feld zwischen den Platten ist homogen.
Die Feldlinien und Feldflächen sind daher ganz regelmäßig.
Ein Gegenstand im Kondensator wird vom Feld verändert und verändert das Feld.
Dieser isolierende Gegenstand wird durch Verschiebung der Elektronenhüllen polarisiert.
An den Oberflächen des Gegenstandes befinden sich Ladungen und es bildet sich innerhalb des Gegenstandes ein elektrisches Gegenfeld aus.
Die Permittivität dieses Dielektrikums beträgt [math]\epsilon_r=3[/math], denn die Feldstärke, die Spannung und die effektive Ladung nehmen auf ein Drittel ab:
[math]E_r=\frac{1}{3}E \qquad U_r=\frac{1}{3}U[/math]
[math]Q_r = Q + Q_{pol} = \frac{1}{3}Q [/math]
Die Kräfte auf die Kondensatorplatten
Das elektrische Feld zieht die beiden Platten zueinander. Die Stärke der Kräfte kann man am einfachsten über die Energiedichte des elektrischen Feldes berechnen.
Alternativ berechnet man die Kräfte direkt über die Feldstärke und die Ladung. Dazu betrachten wir die rechte Platte als Probekörper im Feld der linken Platte. Die gesamte rechte Platte ist aber kein "kleiner" Probekörper mehr, durch die Anwesenheit der rechten Platte wird das Feld stark verändert. Wir müssen daher zunächst die Feldstärke [math]\tilde E[/math] der linken Platte ohne die Anwesenheit der rechten Platte berechnen. Wie immer wird dabei vorausgesetzt, das das Feld homogen ist, was für einen "kleinen" (Platten-)Abstand gerechtfertigt ist.
Der Feldfluß geht bei einem Kondensator nur durch die Plattenfläche A.
Bei einer einzelnen Platte geht der Fluß durch die doppelte Plattenfläche.
Die rechte Platte als Probekörper im Feld der linken Platte.
Legt man um die linke Platte eine geschlossene Fläche, so hat sie die doppelte Fläche der Kondensatorplatte. Die Flächenladungsdichte hat sich halbiert. Der elektrische Fluß geht also durch die doppelte Fläche und damit halbiert sich die Feldstärke:
- [math]\begin{array}{rrcll} & \epsilon_0\,\tilde E \cdot 2A &=& Q & | \, \mathopen: (\epsilon_0 \, 2\, A) \\ \Rightarrow & \tilde E &=& \frac{1}{2}\, \frac{1}{\epsilon_0}\, \frac{Q}{A}\\ & &=& \frac{1}{2}\,E \\ \end{array} [/math]
Die rechte Platte mit der Ladung [math]Q[/math] erfährt in diesem Feld der Stärke [math]\tilde E[/math] die Kraft
- [math](*)\ F= Q\,\tilde E = \frac{1}{2}\,Q\,E [/math]
Die Kraft ist also nur halb so groß, wie man vielleicht zunächst gedacht hätte.
Man kann das Ergebnis noch weiter umformen. Möchte man den Zusammenhang zwischen Kraft und Feldstärke wissen, so setzt man [math]Q=\epsilon_0\,E\,A[/math] in [math](*)[/math] ein:
- [math]F= \frac{1}{2}\, Q \,E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \,A\,E^2 [/math]
Es gibt auch einen Zusammenhang zwischen gespeicherter Energie und der Kraft. Man erhält ihn, indem man [math]E=\frac{U}{d}[/math] in [math](*)[/math] einsetzt:
- [math]F= \frac{1}{2}\, Q \,E = \frac{1}{2}\, Q \,\frac{U}{d} = \frac{\frac{1}{2}\,Q\,U}{d} = \frac{E_{el}}{d}[/math]
Dieser Zusammenhang ist nicht überraschend, denn die Kraft ist, nach der "goldenen Regel der Mechanik", die räumliche Änderung der Energie.
Beschreibt man den Energiegehalt mit Hilfe der Ladung [math]E_{el}= \frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\, U^2 [/math] und setzt für die Kapazität [math]C= \epsilon_0\,\frac{A}{d}[/math] so erhält man den Zusammenhang zwischen Kraft und Ladung:
- [math]F= \frac{Q^2}{2\,C\,d}= \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,A} [/math]
Für den Zusammenhang zwischen Kraft und Spannung setzt man [math]E_{el}= \frac{1}{2}\, C \, U^2 [/math] ein:
- [math]F= \frac{C\,U^2}{2\,d} = \frac{\epsilon_0\,A\,U^2}{2\,d^2} [/math]
Kraft auf die Platten eines idealen Kondensators:
- [math]F=\frac{1}{2} \, Q \, E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \,A\,E^2 = \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,A} = \frac{E_{el}}{d}[/math]
Beispielrechnung
Ein einfacher Plattenkondensator
- mit kreisförmigen Platten des Durchmessers 30cm,
- dem Plattenabstand 5mm,
- der auf 5kV geladen wird.
Nun möchte man gerne wissen,
- wie stark das elektrische Feld ist,
- wieviel Ladung auf den Platten ist,
- welche Kapazität der Kondensator hat,
- wieviel Energie gespeichert ist und
- welche Kraft auf die Platten wirkt.
Die Feldstärke ist die räumliche Anderungsrate des Potentials:
- [math]E=\frac{U}{d} = \rm \frac{5000\, \rm V}{0,005\,\rm m} = 1000000\rm \frac{V}{m} [/math]
Die Ladungsmenge auf einer der Platten ist die Quellenstärke des Feldes:
- [math] \begin{array}{rcl} Q &=& \epsilon_0 \, E \, A \\ &=& {8{,}854 \cdot 10^{-12} \rm \frac{As}{Vm} \cdot 1000000\rm \frac{V}{m} \cdot \,\pi \, (0{,}15}\, \rm m)^2 \\ &=& {8{,}854 \cdot 10^{-12} \rm \frac{As}{Vm} \cdot 1000000\rm \frac{V}{m} \, 0{,}0707}\,\rm m^2\\ &=& 6{,}25\cdot 10^{-7}\,\rm C = 626\,\rm nC \end{array}[/math]
Die Kapazität kann man direkt über die Eigenschaften des Kondensators berechnen oder als Ladung pro Spannung:
- [math]C= \epsilon_0\,\frac{A}{d} = \frac{Q}{U} = \frac{625\cdot 10^{-9}\,\rm C}{5000\, \rm{V}} = = 125\, \mu F[/math]
Die Energie kann man nun auf verschiedene Weise berechnen:
- [math]E_{el}=\frac{1}{2} \, Q \, U = \frac{Q^2}{2\ C} = \frac{1}{2}\, C \, U^2 = 1{,}56\, \rm mJ[/math]
Zur Berechnung der Kraft auf die Platten hat man nun viele Möglichkeiten. Am einfachsten ist es über die gespeicherte Energie:
- [math]F=\frac{1}{2} \, Q \, E = \frac{1}{2}\, \epsilon_0 \,A\,E^2 = \frac{Q^2}{2\epsilon_0\,A} = \frac{E_{el}}{d} = \frac{1{,}56 \cdot 10^{-3} \, \rm J}{5 \cdot 10^{-3} \, \rm m} = 0{,}31 \, \rm N[/math]
Links
- Wikipedia: Kondensator (Elektrotechnik)
- Messung des p(V)-Diagramms eines Luftballons (Mario Brauer, Sächsischer Bildungsserver )
- Videos: Versuche mit dem Plattenkondensator Abstandsänderung bei konstanter Ladung, Materie im Feld
- Animation: Plattenkondensator (Download der deutschen JAVA Version) Abstand, Fläche und Dielektrikum sind wählbar. Es werden Energiegehalt, Kapazität, Feldstärke etc. angezeigt. (PhET Interactive Simulations der University of Colorado Boulder)
- Video: What is an Capacitor? youtube: "Dielectrics in capacitors | Circuits | Physics | Khan Academy" von "khanacademymedicine"
Fußnoten
- ↑ Auch das Magnetfeld und das Gravitationsfeld haben eine Energiedichte:
[math]\rho_{mag} = \frac{1}{2} \mu_0 \, H^2 \text{ }[/math] und [math]\text{ }\rho_{grav} = \frac{1}{2} \frac{1}{4\, \pi\, G} \, g^2[/math]
