Der Kondensator

Ein einfacher Platten-Kondensator besteht aus zwei zueinander parallelen elektrisch leitenden Platten. Zwischen ihnen befindet sich häufig nicht nur Luft, sondern andere Materialien, die man dann "Dielektrikum" nennt. Die Platten kann man elektrisch laden.

Zwei Aspekte sind für uns interessant:

Das homogene Feld des Kondensators

Dieser Aspekt spielt bei vielen theoretischen Überlegungen eine große Rolle. Für das magnetische Feld betrachtet man das Feld einer Spule.

Ist der Plattenabstand gegenüber der Plattengröße klein, so kann man annehmen, dass sich nur zwischen den Platten ein elektrisches Feld befindet und ausserhalb keines. Dieses Feld ist dann in Richtung und Stärke homogen.

So kann man den Energiegehalt des elektrischen Feldes untersuchen und auch Aussagen über das Verhalten von Materie im elektrischen Feld machen.

Der Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher

In elektrischen Schaltungen befinden sich häufig Kondensatoren verschiedenster Bauart. Sie haben die Aufgabe Ladung und damit auch zu speichern. Man findet sie z.B. in Fahrradstandlichtern oder in elektrischen Schwingkreisen aller Art. In der Wechselstromtechnik spielen sie eine große Rolle, ähnlich wie ein ohmscher Widerstand.

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  Dieser Platten-Kondensator wurde mit einer Spannung von 3,5kV geladen.

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  Im Feldlinienbild sieht man die Inhomogenität des el. Feldes an den Rändern des Kondensators

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  Verschiedene Bauformen von Kondensatoren.

Der Kondensator als Ladungs- und Energiespeicher

Vergleich mit einem aufgepumpten Fahrradreifen

Fahrradreifen	Kondensator
speichert Luft	speichert el. Ladung
Druckenergie der Luft	el. Energie des Feldes
Luftdruck	el. Potential
Druckunterschied	Spannung

Die U-Q-Kennlinie und die Kapazität eines Kondensators

Beim Laden eines Kondensators nimmt nicht nur die Ladungsmenge auf den Platten zu, sondern auch die Spannung zwischen den Platten. Das entspricht der Zunahme der Druckdifferenz beim Aufpumpen eines Reifens oder Luftballons.

Trägt man die Spannung über der Ladung einer Platte auf, so erhält man eine U-Q-Kennlinie (U(Q)-Diagramm):

Eine anschauliche Vorstellung davon bekommt man beim Aufblasen eines Reifens oder eines Luftballons:

Vergleich zwischen Fahrrad- und Autoreifen.

Je dehnbarer der Reifen oder der Ballon, desto flacher steigt die Druckkurve an. Die Steilheit der Druckkurve ist also ein Maß für die Festigkeit der Hülle.

Die Kapazität des idealen Kondensators

Wir betrachten einen Plattenkondensator mit folgenden Eigenschaften:

• Plattenfläche A
• Plattenabstand d
• Ladung Q

Dieser Kondensator hat eine Kapazität von 2 F. Bei 6V speichert er 9J Energie.

Bei einem idealen, oder besser idealisierten Kondensator, ist die Spannung proportional zur gespeicherten Ladung:

[math]U \sim Q \quad \Leftrightarrow \quad U = k \, Q[/math] mit einer Proportionalitätskonstante [math]k=\frac{1}{\epsilon_0} \frac{d}{A}[/math].

Das kann man folgendermaßen begründen:

• Die Feldstärke ist proportional zur Ladung, wegen der Ladung als Quellenstärke des elektrischen Feldes:

[math]\epsilon_0 \, E \, A = Q[/math]

• Die Feldstärke ist aber gerade die räumliche Änderung ("Steigung") des Potentials:

[math]E = \frac{\triangle \varphi}{d} = \frac{U}{d}[/math]

Das ergibt zusammen:

[math]\epsilon_0 \frac{U}{d} \, A = Q \ \quad \Rightarrow \quad U = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{d}{A}\, Q[/math]

Diese Konstante k könnte man in Hinsicht auf den mechanischen Vergleich die Festigkeit nennen. Weil man sich aber bei Kondensatoren vor allem dafür interessiert möglichst viel Ladung bei kleiner Spannung zu speichern, betrachtet man lieber den Kehrwert von k, also die "Weichheit" des Kondensators, das heißt wieviel Ladung pro Spannung hineinpasst:

Der konstante Quotient aus Ladung und Spannung eines idealen Kondensators
heißt "Kapazität".

[math]\frac{U}{Q}=C \quad \Leftrightarrow \quad U = \frac{1}{C}\, Q \qquad \rm{mit} \it \qquad C = \epsilon_0 \, \frac{A}{d} \quad [C]= \rm 1\, Farad \;(F)[/math]

Besser wäre die Benennung als "relative Kapazität", denn sie gibt an, wieviel Coulomb Ladung pro Volt Spannung gespeichert werden können.

Energiegehalt eines idealen Kondensators

Vgl. zu Energie und Potential.

Potential als Energie pro Trägermenge

Integration des U-Q-Diagramms.

Fläche des rechtwinkligen Dreiecks:

[math]W=\frac{1}{2} \, U \, Q [/math]

Mit der Kapazität [math]C=\frac{Q}{U}[/math] ergibt sich [math]U = \frac{1}{C} \, Q[/math] und [math]Q = C \, U[/math], was man einsetzen kann:

Energiegehalt eines idealen Kondensators:
[math]W=\frac{1}{2} \, U \, Q = \frac{1}{2}\, \frac{1}{C}\, Q^2 = \frac{1}{2}\, C \, U^2 [/math]

Beispielrechnung

Ein einfacher Plattenkondensator

• mit kreisförmigen Platten des Durchmessers 30cm,
• dem Plattenabstand 5mm,
• der auf 5kV geladen wird.

Nun möchte man gerne wissen,

• wie stark das elektrische Feld ist,
• wieviel Ladung auf den Platten ist,
• welche Kapazität der Kondensator hat und
• wieviel Energie gespeichert ist.

Die Feldstärke ist die räumliche Anderungsrate des Potentials:

[math]E=\frac{U}{d} = \rm \frac{5000\, V}{0,005\, m} = 1000000\frac{V}{m}[/math]

Die Ladung ist die Quellenstärke des Feldes:

[math]Q = \epsilon_0 \, E \, A = \epsilon_0 \, \frac{U}{d} \, A = {8{,}854 \cdot 10^{-12} \textstyle \frac{As}{Vm} \, \frac{5000\, V}{}}[/math]

Links

• Wikipedia: Kondensator (Elektrotechnik)
• Messung des p(V)-Diagramms eines Luftballons (Mario Brauer, Sächsischer Bildungsserver )