Die Spule
(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)
Eine Spule besteht aus einem in Schleifen aufgewickelten Kabel. Häufig wird das Kabel auf einen Kern aus Eisen oder Ferrit gewickelt. (Bilder von Zylinderspule und Ringspule)
Zwei Aspekte sind daei besonders interessant:
- Das (näherungsweise) homogene Magnetfeld
Das Magnetfeld der Spule spielt bei vielen theoretischen Überlegungen eine große Rolle. Für das elektrische Feld betrachtet man das Feld eines Kondensators.
Bei einer "schlanken" Zylinderspule ohne Eisenkern kann man annehmen, dass sich das Magnetfeld nur innerhalb der Spule befindet. Das Feld ist dann in Richtung und Stärke homogen.
So kann man Aussagen über den Energiegehalt des Magnetfeldes machen.
Will man das Verhalten von Materie im Magnetfeld untersuchen, ist es notwendig dieses in einem geschlossenen Ring anzuordnen.
- Die Spule als Energiespeicher
In elektrischen Schaltungen haben Spulen die Aufgabe Energie in ihrem Magnetfeld und eventuell ihrem Eisenkern zu speichern. Weil Spulen vor allem auf die Veränderung des Stromes reagieren, spielen sie in der Wechselstromtechnik als eine Art "Trägheit des Stromes" eine große Rolle.
Magnetfelder können Energie speichern. Zieht man einen Nord- und einen Südpol auseinander, dann wird die dazu benötigte Energie im Magnetfeld gespeichert. Das Feld kann die beiden Pole wieder zusammenziehen, wobei die gespeicherte Energie wieder frei wird. Diese qualtitative Betrachtung haben wir auch für das elektrische und gravitative Feld angestellt.
Quantitative Überlegungen zur Energie des magnetischen Feldes führt man am Beispiel einer idealen Spule durch. Dadurch sind die Ergebnisse auch auf alle homogenen Felder übertragbar. Bei inhomogenen Feldern muss man einen hinreichend kleinen Raumausschnitt wählen, in dem das Feld annähernd homogen ist.
Inhaltsverzeichnis
Vergleich von Kondensator und Spule
Die quantitativen Beschreibungen einer Spule weisen sehr viele Parallelen zu einem Kondensator auf, weshalb hier zunächst ohne Begründung alle Ergebnisse aufgeführt werden:
|
Kondensator |
Spule | ||
|---|---|---|---|
|
speichert elektrische Ladung
|
[math]Q[/math] |
[math]n\,\Phi[/math] |
erzeugt einen magnetischen Fluß |
|
welche von der Kapazität |
[math]Q = C \, U[/math] |
[math]n\,\Phi = L \, I[/math] |
welcher von der Induktivität |
|
speichert Energie im elektrischen Feld |
[math]\begin{align} W_{el} &= \frac{1}{2}\,Q\,U\\ &= \frac{1}{2}\,C\,U^2\\ &= \frac{Q^2}{2\,C}\\ \end{align} [/math] |
[math]\begin{align} W_{mag} &= \frac{1}{2}\,n\Phi\,I\\ &= \frac{1}{2}\,L\,I^2\\ &= \frac{(n\Phi)^2}{2\,L}\\ \end{align} [/math] |
speichert Energie im magnetischen Feld |
Die Energiemenge einer Spule läßt sich auch quantitativ angeben, es gibt große Ähnlichkeiten zu anderen Energiemengen:
|
magnetische Feldenergie |
Spule mit der Induktivität L und Strom der Stärke I |
|
|
elektrische Feldenergie |
Kondensator mit der Kapazität C und der Spannung U |
|
|
Bewegungsenergie |
Gegenstand mit der Masse m und der Geschwindigkeit v |
|
Berechnung der Energiemenge einer Spule
Das verzögerte Einschalten eines Lämpchens mit einer in Reihe geschalteten Spule kann man durch die Selbstinduktion erklären. Erst nachdem der maximale Spulenstrom erreicht ist, wird die gesamte Energie vom Netzgerät an die Lampe geliefert. Vorher wird die Energie benötigt, um das Magnetfeld aufzubauen und den Eisenkern zu magnetisieren.
Die in der Spule gespeicherte Energie kann nur von der Stärke des Maximalstroms und Eigenschaften der Spule, wie Windungsanzahl, usw. abhängen. Es ist insbesondere egal wie der maximale Strom erreicht wird, ob schnell oder langsam, gleichmäßig oder ungleichmäßig.
Zur Berechnung der Energiemenge betrachtet man die "Entladung" der Spule nach der Trennung von der Spannungsquelle. Vorher fließt ein konstanter Strom, dann "entlädt" sich die Spule und gibt die Energie an einen "Verbraucher", wie ein Glimmlämpchen ab.
Die zu einem Zeitpunkt an die Spule übertragene Energie wird von der Leistung bestimmt. Die Gesamtenergie erhält man dann als Integral über die momentane Änderungsrate der Energie vom Beginn ([math]t=0[/math]) bis "viel später" ([math]t=\infty[/math]):
- [math] \dot E(t) = P(t)[/math]
- [math] E_{mag}= \int_0 ^\infty \dot E(t)\, dt = \int_0 ^\infty P(t)\, dt[/math]
Je größer die Stromstärke und die Selbstinduktionspannung ist, desto größer ist der Energiefluß aus der Spule. Die Leistung ist das Produkt von Spannung und Stromstärke:
- [math] E_{mag}= \int_0 ^\infty P(t)\, dt = \int_0 ^\infty U(t)\, I(t) \, dt[/math]
Die Selbstinduktionsspannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke, der Proportionalitätsfaktor ist gerade die Induktivität der Spule:
- [math] U(t) = L\, \dot I(t)[/math]
Somit ergibt sich für die Energie der Spule das Integral:
- [math] E_{mag}= L\, \int_0 ^\infty \dot I(t) \, I(t) \, dt[/math]
Um über die Zeit zu integrieren, benötigt man den genauen zeitlichen Verlauf der Stromstärke. Man kann aber auch die Stromstärke selbst als neue Variable nehmen. Man integriert dann von der Stromstärke zu Beginn bis zur Stromstärke zu einem "viel späteren" Zeitpunkt:
- [math] E_{mag}= L\, \int_{I(0)} ^{I(\infty)} \dot I \, I \, dI[/math]
Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Integral zu lösen. Am einfachsten ist es "gut zu raten". Eine Stammfunktion ist nämlich [math] \frac{1}{2} \, I(t)^2[/math], was man durch Ableiten mit der Kettenregel bestätigen kann:
- [math] \left(\frac{1}{2}\, I(t)^2\right)^{\cdot} = \frac{1}{2}\cdot 2\, I(t) \cdot \dot I(t)[/math]
Also berechnet sich das Integral zu:
- [math] E_{mag}= L\,\int_{I(0)} ^{I(\infty)} \dot I \, I \, dI = L\, \left[\frac{1}{2} I^2 \right]_{I(0)}^{I(\infty)} = \frac{1}{2} \, L\,\left( I(\infty)^2 - I(0)^2 \right)[/math]
Die Stromstärke wird mit der Zeit immer kleiner, insbesondere ist [math]I(\infty)=0[/math]. Und [math]I(0)[/math] ist einfach die Stromstärke [math]I[/math] der Spule:
- [math] E_{mag}= \frac{1}{2} \, L\,I^2[/math]
- oder mit der maximalen Leistung (folgt!)
Der Einfachheit halber nimmt man an, dass die Stromstärke linear innerhalb der Zeit [math]t_{max}[/math] auf [math]I_{max}[/math] ansteigt. Die Stromstärkeänderung ist also konstant, und damit auch die Selbstinduktionsspannung:
- [math]U = - L \, \dot I = - L\, \frac{I_{max}}{t_{max}}[/math]
[math][/math]
Fußnoten
- ↑ Nach der Maxwellschen Gleichung der Elektrostatik ist der elektrische Fluß gerade so groß wie die Ladung auf den Platten: [math]\epsilon_0 \, E \, A =Q [/math]
Links
- Berechnung der Energie des Magnetfelds einer Spule ohne Substitution
- Energie einer Spule Berechnung mit Integration durch Substitution
