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| | Beide Formeln sind gleichwertig. | | Beide Formeln sind gleichwertig. |
| | Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude. | | Die Energie ist proportional zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude. |
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| − |
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| − | ==Aufgaben==
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| − | ====1 Schwebung====
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| − | Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.
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| − |
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| − | ====2 Überlagerung====
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| − | Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y<sub>1</sub> und y<sub>2</sub> entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:
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| − |
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| − | #<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)</math>
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| − | #<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)</math>
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| − | #<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)</math>
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| − |
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| − | ====3 Energie====
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| − | Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?
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| − | ====4 Energie====
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| − | Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?
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| − | ====5 Energie(y,D,m)====
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| − | Wie verändert sich die in einer Federschwingung enthaltene Energiemenge, wenn
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| − | #man die Amplitude verdoppelt?
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| − | #man die Federhärte verdoppelt?
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| − | #man die Masse verdoppelt?
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| − | und dabei jeweils die anderen Größen konstant hält.
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| − | ====6 Energie(f)====
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| − | Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.
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| − | ====7 Schwingung bei bekannter Energie====
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| − | Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden.
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| − | Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?
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| − | ====8 Wasserstoffmolekül====
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| − | Ein H<sub>2</sub>-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen.
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| − | Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10<sup>11</sup> Hz.
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| − | Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen.
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| − | Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10<sup>-10</sup>m schwingen?
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| − | (Fehlende Angaben entnehmen sie dem Buch oder dem www.)
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| − | ====9 E<sub>kin</sub> = E<sub>Spann</sub>====
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| − | Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?
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| − | ====10 Zeitlicher Mittelwert von E<sub>kin</sub> und E<sub>Spann</sub>====
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| − | Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel.
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| − | Hinweise:
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| − | :<math>E_{kin}(t)=m/2 \, v(t)^2 \qquad E_{pot}=D/2 \, y(t)^2</math>
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| − | Den Mittelwert einer Funktion f(x) von x<sub>1</sub> bis x<sub>2</sub> bestimmt man mit Hilfe des Integrals:
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| − | :<math>\bar f = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx</math>
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| − | Anschaulich bestimmt man zur Fläche zwischen Schaubild und x-Achse ein Rechteck gleicher Fläche. Die Höhe des Rechtecks ist gerade der Mittelwert.
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| − | [[Bild:Mittelwert_einer_Funktion.png|none]]
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| − | ==Lösungen==
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| − | ====1 Schwebung====
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| − | Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.
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| − | '''Lösung:'''
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| − | <br/> Das Schätzen der Frequenz der anderen Stimmgabel wäre aüßerst schwierig, da die Frequenz wohl viel zu hoch wäre. Man kann aber die Frequenz der Schwebung abschätzen. In unserm Beispiel ergab dies etwa <math>1{,}2</math>Hz. Da die Frequenz der zweiten Stimmgabel geringer seien wird, als die der anderen (der Reiter verlangsamt die Schwingung, indem er zusätzliche Masse einbringt) und die Frequenz der Schwebung gerade die Differenz der Frequenzen der beiden Stimmgabeln ist, ergibt sich:
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| − | <br/><math>440Hz-xHz=1{,}2Hz\Rightarrow x=438{,}8</math>
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| − | <br/>Die zweite Stimmgabel hat also etwa die Frequenz <math>438{,}8</math>Hz.
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| − | ====2 Überlagerung====
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| − | Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y<sub>1</sub> und y<sub>2</sub> entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_1.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)</math>]]
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| − | '''Überlegung''':
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| − | <br/>Beide Schwingungen haben die selbe Frequenz (das <math>\omega</math> beider Schwingungen ist 2)
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| − | <br/>Die zweite Schwingung ist um <math>\pi</math> phasenverschoben, also genau gegenphasig.
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| − | <br/>Da die Schwingungen gegenphasig sind eleminieren sie sich gegenseitig, da die zweite Schwingung aber die doppelte Amplitude der ersten Schwingung hat, wird ein Ton mit der halben Amplitude der zweiten Schwingung, aber ohne Phasenverschiebung zu dieser hörbar sein.
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| − | <br/> Die mathematische Beschreibung einer solchen Schwingung wäre:
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| − | <br/><math>y = 2cm sin(2t+\pi)</math>
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_2.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)</math>]]
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| − | '''Überlegung'''
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| − | [[Bild:Schwingung_Überlagerung_Aufgabe_3.png|framed|none|<math>y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)</math>]]
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| − | '''Überlegung'''
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| − | <br/>Da die Pfeile entgegengesetzt sind, ergibt die Amplitude 0. Daher gilt <math>y''=0</math>.
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| − | ====3 Energie====
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| − | Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?
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| − | Geg:
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| − | ::<math>m - 1kg</math>
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| − | ::<math>T - 1s</math>
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| − | ::<math>\hat y - 0,01m</math>
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| − |
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| − | Ges:
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| − | ::<math>E</math>
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| − | Rechnung:
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| − | :<math>E_{kin}=0.5*m*(\omega\hat y)^2</math> ist unsere Formel für die kinetische Energie. Eine Angabe fehlt uns jedoch noch, daher:
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| − | :<math>\omega = 2\pi *f</math>
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| − | :<math>\omega = 2\pi</math>
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| − | :<math>E_{kin}=0.5*(2\pi)^2*0.01^2</math>
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| − | ====4 Energie====
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| − | Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?
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| − | ====5 Energie(y,D,m)====
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| − | Wie verändert sich die in einer Federschwingung enthaltene Energiemenge, wenn
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| − | #man die Amplitude verdoppelt?
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| − | #man die Federhärte verdoppelt?
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| − | #man die Masse verdoppelt?
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| − | und dabei jeweils die anderen Größen konstant hält.
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| − | ====6 Energie(f)====
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| − | Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.
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| − | ====7 Schwingung bei bekannter Energie====
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| − | Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden.
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| − | Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?
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| − | <math>Geg:</math> <math>m=0.6kg</math> <math>D=100</math><math>N\over m</math> <math>E=1J</math>
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| − | Die Charakteristik einer Schingung definieren wir als Angabe von der Frequenz <math>f</math> und der Amplitude <math>\hat y</math>.
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| − | <br/>Es wird mit der doppelten Federstärke <math>D</math> gerechnet, da wir denn Fall auf nur einen Wagen idealisieren (Stille Annahme: Symmetrie der Bewegung).
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| − | <br/>Zunächst widmen wir uns der Frequenz <math>f</math>:
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| − | <math>f=</math><math>{\omega}\over 2\pi</math><math>=</math><math>\sqrt {2D \over m}\over 2\pi</math><math>=</math><math>\sqrt {{200 {N\over m}} \over 0.6kg}\over 2\pi</math><math>=</math><math>2.91Hz</math>
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| − | Nun zur Amplitude <math>\hat y</math>:
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| − | <math>E_{pot}=</math><math>2\left({2D\over 2}{\hat y}^2\right)</math>
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| − | <br/><math>\hat y=</math><math>\sqrt {E\over 2D}</math><math>=</math><math>\sqrt {1Jm\over {200N}}</math><math>=</math><math>{0.1\over{\sqrt 2}}m</math><math>=</math><math>0.07m</math> (für einen einzelnen Wagen; das Gesamtsystem hat jedoch 2<math>\hat y</math>)
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| − | ====8 Wasserstoffmolekül====
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| − | Ein H<sub>2</sub>-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen.
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| − | Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10<sup>11</sup> Hz.
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| − | Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen.
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| − | Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10<sup>-10</sup>m schwingen?
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| − | Man betrachte erst die Hälfte des Versuchsaufbau.
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| − | geg: T=1/(9,2*10^11) s
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| − | m=(2/(6*10^23)*0,001)kg
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| − | s=10^-10
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| − | Formel: D=m/((T/2PI)^2)
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| − | =>D=0,05599
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| − | E=D/2*ý^2
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| − | ====9 E<sub>kin</sub> = E<sub>Spann</sub>====
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| − | Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?
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| − | Es wird gefragt für welche Auslenkung die Energie gleichermaßen in dem Impuls als auch in der Feder ist. Also wann die kinetische Energie gerade gleich der potentiellen bzw.der Spannenergie ist.
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| − | :D.h.:
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| − | :<math>E_{kin}=E_{spann}</math>
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| − | :also:
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| − | :<math>m/2*v^2=D/2*s^2</math>
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| − | :nach s aufgelöst:
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| − | :<math>s=\sqrt{D/m}*v</math>
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| − | ====10 Zeitlicher Mittelwert von E<sub>kin</sub> und E<sub>Spann</sub>====
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| − | Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel.
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Ein Körper kann nie alleine schwingen. Er braucht einen Partner.
Selbst bei einem Federpendel, das z.B. an einer Wand befestigt ist (bei dem es folglich so aussieht, als würde nur ein Körper schwingen), schwingt immer ein anderer Körper, in diesem Fall die Erde, mit.
Die zwei Körper schwingen dabei mit einem feststehenden gemeinsamen Schwerpunkt.
Bei dem oben genannten Beispiel wäre der gemeinsame Schwerpunkt, da die Erde ja eine viel größere Masse hat als der Rest des Federpendel, nahezu identisch mit dem der Erde, wodurch es dem Betrachter so erscheint, als würde nur das Federpendel schwingen.
Während einer Schwingung fließt die Energie doppelt so schnell zwischen den Körpern (Bewegungsenergie) und der Feder (potentielle Energie) hin und her, wie der Impuls zwischen den zwei Körpern.
Dies lässt sich gut an dem folgenden Bild verdeutlichen.
Wenn die Feder vollstängig auseinandergezogen oder zusammengedrückt ist, enthält sie alle Energie des Systems (Beide Körper bewegen sich an genau diesem Punkt nicht). Ist sie entspannt, so enthält sie gar keine. Beim folgenden Bild wäre die Energie also im ersten Abschnitt in der Feder, im dritten vollständig in den Körpern, im fünften wieder in der Feder, im siebten in den Körpern un im letzten wieder in der Feder. Sie hat sich also zwei mal zwischen Feder und den Körpern hin und her bewegt.
Ist die Erde (oder ein ähnlich großer Körper) einer der zwei schwingenden Körper und der andere Körper ist erheblich kleiner, so nimmt die Erde zwar Impuls auf, aber kaum Energie.
Die Geschwindigkeit und die Elongation hängen über die kinetische Energie miteinander zusammen.
In Abhängigkeit von der Elongation steigt die potentielle Energie parabelförmig, während die kinetische Energie parabelförmig fällt.
