Gedämpfte Schwingungen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Schulphysikwiki
(→Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit) |
K (→Theoretischer Hintergrund) |
||
| Zeile 36: | Zeile 36: | ||
<br/> '''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y</math> (<math>r</math>: Reibungskoeffizient) | <br/> '''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y</math> (<math>r</math>: Reibungskoeffizient) | ||
<br/> <math>\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y</math> | <br/> <math>\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y</math> | ||
| − | + | ||
| + | |||
| + | =====Schwingfall===== | ||
| + | <math>\quad \mathrm{k^2} \, < \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, < \, 4 \mathrm{D m}</math> | ||
| + | |||
<br/> <math>\operatorname{y(}\, t)=\hat y_oe^{-kt}\sin {(\omega t + \varphi)</math> (<math>k</math>: Dämpfungskoeffizient) | <br/> <math>\operatorname{y(}\, t)=\hat y_oe^{-kt}\sin {(\omega t + \varphi)</math> (<math>k</math>: Dämpfungskoeffizient) | ||
<br/> <math>k={r\over{2m}}</math> <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math> | <br/> <math>k={r\over{2m}}</math> <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | =====aperiodischer Grenzfall===== | ||
| + | <math>\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | =====Kriechfall===== | ||
| + | <math>\quad \mathrm{k^2} \, > \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, > \, 4 \mathrm{D m}</math> | ||
<math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math> | <math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit=== | ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit=== | ||
Version vom 8. Dezember 2006, 10:40 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Merkmale einer gedämpften Schwingung
Beispiele
Versuch: Schwingende Stange
Aufbau
Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft Stange.jpg
Versuchsaufbau mit Markierungen der Amplitude.
Versuch: Wassergedämpftes Federpendel
Aufbau
Datei:Versuchsaufbau Schwingungen gedämpft.jpg
Versuchsaufbau mit variablen Gewichten und Scheiben.
Beobachtung
Datei:Schwingung Dämpfung klein.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung mittel.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung Grenzfall.png
Bla bla bla
Datei:Schwingung Dämpfung Kriechfall.png
Bla bla bla
Theoretischer Hintergrund
Bei Gleitreibung
Die Amplitude nimmt linear ab, die Frequenz ändert sich nicht.
[math]F_{R}=const.[/math]
DGL: [math]m\ddot y=-Dy\pm F_R[/math]
Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit
Laminare Strömung ohne Wirbel
[math]F_{R}[/math][math]\sim v[/math]
Amplitude nimmt exponentiell ab
DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y[/math] ([math]r[/math]: Reibungskoeffizient)
[math]\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y[/math]
Schwingfall
[math]\quad \mathrm{k^2} \, \lt \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, \lt \, 4 \mathrm{D m}[/math]
[math]\operatorname{y(}\, t)=\hat y_oe^{-kt}\sin {(\omega t + \varphi)[/math] ([math]k[/math]: Dämpfungskoeffizient)
[math]k={r\over{2m}}[/math] [math]\omega^2={\omega_o}^2-k^2[/math]
aperiodischer Grenzfall
[math]\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}[/math]
Kriechfall
[math]\quad \mathrm{k^2} \, \gt \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, \gt \, 4 \mathrm{D m}[/math]
[math]\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad[/math] mit [math]\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}[/math]
Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit
Strömung mit Wirbelbildung
[math]F_{R}\sim v^2[/math]
DGL: [math]m\ddot y=-Dy-r\dot y^2[/math] [math]\Rightarrow[/math]ist nicht exakt lösbar! (nur näherungsweise mit Computer)
