Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit konstanter Impulsänderung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. Dezember 2014, 12:27 Uhr

Gleichförmige Bewegung: konstante Impulsmenge

Kennzeichen ist die gleiche Impulsmenge. Entweder weil kein Kraft wirkt, also auch kein Impuls rein oder raus geht. Oder weil die Kraftsumme Null ist, also genausoviel Impuls dazukommt wie weggeht. (Vgl. Gleichförmige Bewegung mit konstantem Impuls (Kräftegleichgewicht; Fließgleichgewicht))

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: konstante Impulszunahme

Versuch: Ein Wagen rollt berab

Der Versuchsaufbau mit dem Ultraschallentfernungsmesser

Aufbau

Ein kleiner Wagen wird auf eine schräggestellte Schiene gesetzt und losgelassen. Am Ende der Schiene bremst etwas Knete den Wagen.

Mit Hilfe eines Ultraschallsensors kann dabei der Ort des Wagens bestimmt werden, wobei das Ortskoordinatensystem gerade die Schiene selbst ist. Den Nullpunkt kann man beliebig setzen, z.B. an den linken Rand der Schiene.

Messung

Diagramme über die Zeit von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls und Kraft.

Ergebnis

Im Wasserbehältermodell

Die gefundene gleichmäßige Zunahme von Impuls und Geschwindigkeit ist nicht überraschend. Eine konstante Kraft entspricht im Wasserbehältermodell einer gleichmäßigen Zunahme der Wassermenge (Impuls) und damit auch der Wasserhöhe (Geschwindigkeit).

Das Modell kann allerdings keine Aussagen über den Ort des Wagens machen!

Zahlenwerte

Das Impulsdiagramm liefert folgendes:

Der Impuls hat gleichmäßig zugenommen. Innerhalb von 2,5s um 0,04 Hy.

Die Impulszunahme, also die Kraft, war in etwa konstant. Sie entspricht der Steigung im Diagramm und beträgt

[math]F=\frac{\triangle p}{\triangle t}=\frac{0{,}04\rm Hy}{2{,5}\rm s} = 0{,}016\rm N[/math]

Die Hangabtriebskraft war also um 0,016 Newton größer als die Reibungskraft. Das ist nicht viel und entspricht der Gewichtskraft von 1,6 Gramm.

Das Abbremsen ging viel schneller als das Beschleunigen. Innerhalb von nur 0,2s sinkt die Impulsmenge um 0,04Hy. Ausserdem war die Kraft, also die Impulsänderung, beim Bremsen nicht konstant. Die mittlere Kraft entspricht der mittleren Steigung und betrug

[math]\bar F=\frac{-0{,}04\rm Hy}{0{,}2\rm s} = -0,2\rm N[/math]

Man hätte den Wagen also mit einer Kraft von 0,2 Newton, die 0,2 Sekunden lang wirkt abbremsen können.

Das Kraftdiagramm bestätigt die am Geschwindigkeitsdiagramm gefundenen Aussagen.

Die Fläche unter dem Diagramm entspricht der Impulsänderung.

Während der Beschleunigung kommen ca. 0,04 Hy dazu, beim Abbremsen sinkt die Impulsmenge wieder auf Null.

Am Ortsdiagramm kann man folgendes ablesen:

Der Wagen befindet sich zunächst am Anfang der Schiene. Nach ca. zwei Sekunden wurde er losgelassen und erreicht den Knetklumpen nach ca. 4,5 Sekunden. Während seiner Fahrt wurde er immer schneller. Der Knetklumpen lag 0,6m vom linken Rand entfernt.

Das Geschwindigkeitsdiagramm liefert folgendes:

Die Geschwindigkeit hat gleichmäßig zugenommen. Innerhalb von 2,5s um 0,4 m/s.

Die Beschleunigung beim Bergabrollen war also in etwa konstant. Sie beträgt

[math]a=\frac{0{,}4\rm\frac{m}{sec}}{2{,5}\rm s} = 0{,}16\rm \frac{m}{s^2}[/math]

Das Abbremsen ging viel schneller als das Beschleunigen. Innerhalb von nur 0,2s fiel die Geschwindigkeit um 0,4m/sec. Ausserdem war die Beschleunigung beim Bremsen nicht konstant. Die mittlere Beschleunigung betrug

[math]\bar a=\frac{-0{,}4\rm\frac{m}{s}}{0{,}2\rm s} = -2\rm \frac{m}{s^2}[/math]

Das Beschleunigungsdiagamm bestätigt die am Geschwindigkeitsdiagramm gefundenen Aussagen.

Bewegungsgesetze herleiten

Die folgenden Aufgaben kann man mit dieser Animation der Bewegungsdiagramme lösen!

Pauline und Paul fahren Skateboard. Pauline ist kleiner und bringt deshalb nur 50kg auf die Waage im Vergleich zu doppelt so schweren Paul.

1) Pauline steht zu Beginn am Baum. Dann stößt sie sich anderthalb Sekunden lang mit 40 Newton ab und rollt weiter.

Vernachläßige zunächst die auftretende Reibung.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wieviel Impuls hat Pauline nach dem Abstoßen?

c) Wie schnell ist sie nach dem Abstoßen?

d) Wie weit fährt sie während des Abstoßens und wie weit in den nächsten viereinhalb Sekunden?

e) Paul macht nun genau das gleiche wie Pauline: Er steht am Baum und stößt sich anderthalb Sekunden lang mit 40 Newton ab. Vergleiche seine Fahrt mit der von Pauline.

f) Nimm nun an, dass bei Pauline eine Reibungskraft von 5N und bei Paul von 10N wirkt, solange sie fahren. Wie verändert sich die Fahrt der beiden?

2) Diesmal fährt Pauline zu der Zeitmessung schon mit 1 m/s am Baum vorbei und rollt weiter. Wieder soll zunächst die Reibung vernachlässigt werden.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wo ist Pauline nach 6 Sekunden und wie schnell ist sie?

c) Begründe die Bewegungsgesetze durch die Betrachtung von Ableitungen (Steigungen) und Integralen (Flächen):

[math]s(t) = v\, t = 2 \, \rm{\frac{m}{s}} \cdot t[/math]

[math]v(t) = v_0 = 2\, \rm \frac{m}{s} [/math]

[math]a(t) = 0 \, \rm \frac{m}{s^2}[/math]

d) Löse b) mit Hilfe der Bewegungsgesetze.

3) Paul hat sich einen kleinen Motor an sein Board gebaut, der mit 20 Newton schiebt. Zu Beginn steht er am Baum.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wo und wie schnell ist Paul nach 6 Sekunden?

c) Welche Strecke legt in der Zeitspanne von 4 bis 6 Sekunden nach Beginn der Zeitmessung zurück?

d) Begründe die Bewegungsgesetze durch die Betrachtung von Ableitungen (Steigungen) und Integralen (Flächen):

[math]s(t) = \frac{1}{2} \, a\, t^2 = 0{,}1 \, \rm \frac{m}{s^2} \cdot t^2[/math]

[math]v(t) = a\, t = 0{,}2 \, \rm \frac{m}{s^2} \cdot t[/math]

[math]a(t) = \frac{F}{m} = 0{,}2 \, \rm \frac{m}{s^2}[/math]

e) Löse b) und c) mit Hilfe der Bewegungsgesetze.

4) Pauline kommt mit 1 m/s angerauscht. Als sie am Baum vorbeifährt, sieht sie 5 Meter vor sich "Momo", die Katze der Nachbarn, sitzen. Sie bremst ab sofort mit 15 Newton.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wie lange dauert es, bis sie steht? Schafft sie es noch vor der Katze anzuhalten? Wenn nicht, bei welcher Geschwindigkeit kollidieren die beiden?

c) Begründe folgende Formeln für die Bremszeit und den Bremsweg:

[math]t_{brems} = \frac{m}{F} \, v_0 [/math]

[math]s_{brems} = \frac{1}{2}\, \frac{m}{F}\, v_0^2[/math]

d) Wie verändert sich der Bremsweg und die Bremszeit, wenn sich die Ausgangsgeschwindigkeit verdoppelt oder halbiert?

Bewegungsgesetze der gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegung

• Zusammenfassung mit s0 v0 a=F/m