Aufgaben zu Schwingungen (Kurs 2015)(Lösungen)

Energieformen

Beispiele sind im Abschnitt "Grundbegriffe von Schwingungen" zu finden.

Schaukeltier

Das kann man im Abschnitt "Begriffe einer mechanischen Schwingung" nachlesen.

Zeigermodell

Der Versuch ist im Wiki unter im Kapitel Zeigerdarstellung beschrieben, oder im Heft.

Uhrzeiger

• Die Winkelgeschwindigkeit gibt an welcher Winkel in welcher Zeit überstrichen wird. Beim Sekundenzeiger eben 360° oder [math]2 \,\pi[/math] in einer Minute.

• Die Periodendauer beträgt 60s und die Frequenz 1/60 Hz.

• Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit der Zeigerspitze bei einem Radius von 1.

Verzehnfacht man den Radius, so verzehnfacht sich auch die Geschwindigkeit: [math]v=\omega \, r = \frac{2\,\pi}{60\,s}\cdot 10\,\rm cm = 1{,}05 \frac{cm}{s}[/math]

Schwingmännchen

• Der Zeiger hat eine Länge von 3cm.

• 

  [math]t= 0{,}25\, s[/math] eine halbe Periode ist vorbei, y=0cm.

• 

  [math]t = 0{,}125\, s[/math] eine viertel Periode ist vorbei, y=3cm.

• 

  [math]t = 0{,}4375\, s[/math] 7/8 der Periode sind vorbei, y=2,1cm.

Stimmgabel

• [math]T=\frac{1}{f}=\frac{1}{440\, \rm 1/s} = 0{,}00227\, \rm s[/math]

[math]\omega = 2\,\pi\,f = 2760\, \rm Hz[/math]

• [math]y(t)=2 \,\rm mm \cdot \sin (2760\,\rm Hz \cdot t)[/math]

[math]v(t)=5520 \,\rm mm/s \cdot \cos (2760\,\rm Hz \cdot t) = 5{,}52 \,\rm m/s \cdot \cos (2760\,\rm Hz \cdot t) [/math]

[math]a(t)=-15200 \,\rm m/s^2 \cdot \sin (2760\,\rm Hz \cdot t)[/math]

• Maximale Geschwindigkeit: [math]\hat v = 5{,}52 \,\rm m/s \approx 20 \, \rm km/h[/math]

Maximale Beschleunigung: [math]\hat a = 15200 \,\rm m/s^2[/math] (Das ist das 1500-fache der Erdbeschleunigung!)

Horizontales Federpendel

• Die maximale Auslenkung (und die maximale Geschwindigkeit) des Wagens bleibt konstant, daher geht keine Energie aus der Schwingung heraus.

• Zu Beginn (t=0s) befindet sich der Wagen in der Ruhelage (y=0m) und wird mit 1m/s nach rechts angeschubst.

• Der Wagen bleibt in den äußeren Umkehrpunkten stehen und ist beim Durchgang durch die Ruhelage besonders schnell. Die Auslenkung des Wagens hinkt der Geschwindigkeit des Wagens dabei um eine Viertel Schwingung hinterher:

t=0	v maximal, positiv	y=0
t=1/4 T	v=0	y maximal, positiv
t=1/2 T	v maximal, negativ	y=0
t=3/4 T	v=0	y maximal, negativ
t=T	v maximal, negativ	y=0

Die Beschleunigung hat die gleiche Richtung wie die Kraft. Da für die Rückstellkraft [math]F = -D\, y[/math] gilt, ist auch die Beschleunigung immer entgegengesetzt zur Auslenkung.

• Aus dem Graphen der Auslenkung y kann man die Periodendauer von drei Sekunden ablesen: [math]T = 3 \, \rm s[/math]. Also folgt für die Winkelgeschwindigkeit:

[math]\omega = 2\pi \, f = \frac{2\pi}{T}\approx 2\,\rm Hz[/math]

Aus der Winkelgeschwindigkeit und der Amplitude kann man nun die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen:

[math]\hat v = \hat y\, \omega = 0{,}5\,\rm m \cdot 2\, \rm Hz = 1\, \rm m/s[/math]

[math]\hat a = \hat y\, \omega^2 = 0{,}5\,\rm m \cdot (2\, \rm Hz)^2 = 2\, \rm m/s^2[/math]

Die so berechneten Werte stimmen mit den an den Graphen ablesbaren Werten gut überein. Die maximale Beschleunigung ist dort etwas größer als 2m/s², wahrscheinlich ist die Periodendauer etwas kleiner als die abgelesenen zwei Sekunden.

Auch an den Steigungen der Graphen kann man das Ergebnis kontrollieren: Die maximale Steigung des Graphen der Auslenkung beträgt tatsächlich gerade 1m/s, die maximale Steigung des Graphen der Geschwindigkeit ist tatsächlich 2m/s².

Schwingmännchen II

• Wie groß sind Amplitude, Frequenz und Periodendauer?

[math]\hat y = 5\,\rm cm[/math]

[math]2 \, \Pi \ f = 3 \,\rm Hz \Rightarrow f \approx 0{,}48 \,\rm Hz[/math]

[math]T=\frac{1}{f}\approx 2{,}1 \,\rm s[/math]

• Zeichnen Sie das Ortsdiagramm, das Geschwindigkeitsdiagramm und das Beschleunigungsdiagramm jeweils in ein Koordinatensystem.

Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ergeben sich als erste und zweite Ableitung der Auslenkung:

[math]v(t)=\dot y(t)=5 \, \rm cm \ 3 \,\rm Hz \cos(3\, \rm Hz \ t) = 15 \,\rm cm/s \cos(3 \,\rm Hz \ t)[/math]

[math]a(t)=\dot v(t)= -15 \,\rm cm/s\cdot 3\,\rm Hz \sin(3 \,\rm Hz \ t) = \dot v(t)= -45 \,\rm cm/s^2 \sin(3 \,\rm Hz \ t)[/math]

Das kann man nun zeichnen.

• Zeichen Sie zum Ortsdiagramm die Zeiger für die Zeitpunkte t=0s, t=0,25s und t=1s.

Der Zeiger hat am Anfang ([math]t = 0 \,\rm s[/math]) den Drehwinkel [math]\alpha = 0[/math]. Danach gilt : [math]\alpha = \omega \, t[/math]

Für [math]t = 0{,}25 \,\rm s\: \qquad \alpha = 3\,\rm Hz \cdot 0{,}25\,\rm s= 0{,}75 = 0{,}75 \cdot \frac{180\°}{\pi}= 43\°[/math]

• Wo ist das Männchen nach 1,6 Sekunden und wie schnell ist es?

[math]y(1{,}6 \,\rm s) = 5 \,\rm cm \sin(3 \,\rm Hz 1{,}6 \,\rm s) \approx 5 \,\rm cm \ (-1) = -5 \,\rm cm[/math]

Das Männchen ist fast am unteren Umkehrpunkt!

[math]v(t)=\dot y(t)=5 \,\rm cm \ 3 \,\rm Hz \cos(3 \,\rm Hz \ t) = 15 \,\rm cm/s \cos(3 \,\rm Hz \ t)[/math]

[math]v(1{,}6 \,\rm s)=15 \,\rm cm/s \cos(3 \,\rm Hz \ 1{,}6 \,\rm s) \approx 15 \,\rm cm/s \cdot 0{,}1 = 1{,}5 \,\rm cm/s [/math]

Dort bleibt es annähernd stehen.

• Wie schnell ist das Männchen maximal?

[math]\hat v = 15 \,\rm cm/s [/math]

Eine "Schwingungswaage"

• Erläutern Sie, warum man mit dieser Waage die Masse der Astronautin bestimmen kann.

Mit dieser Waage kann die Trägheit, also die träge Masse der Astronautin gemessen werden. Die wirkenden Kräfte (und damit die Impuls änderung) sind durch die Versuchsanordnung vorgegeben, verändern sich also nicht. Bei einer größeren Masse wird sich daher die Geschwindigkeit weniger schnell verändern, was sich in einer niedrigeren Frequenz der Schwingung äußert.

• Federhärte kommt noch.
• Masse der Astronautin auch.

In einem Modellversuch schwingt ein Wagen zwischen zwei Federn. Die Federkonstante einer Feder beträgt D= 3 N/m. Zusammen wirken sie wie eine Feder mit der doppelten Federkonstante. Der Wagen hat eine Masse von 190,6g.

• Wie schwer ist die Batterie, wenn der Wagen mit ihr nun in 5,6 Sekunden viermal schwingt?

Löst man die Formel für die Frequenz einer harmonichen Schwingung nach der Masse auf, so erhält man:

[math]f = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{D}{m}} }\quad \Rightarrow \quad m= \frac{D}{4 \pi^2 \, f^2}[/math]

Mit [math]f = \frac{4}{5,6 \rm \, sec} = 0,714 \,\rm Hz[/math] folgt:

[math]m= \frac{2\cdot 3 \,\rm N/m}{4 \pi^2 \, (0,714 \,\rm 1/sec)^2} = 0,298\, \rm kg[/math]

Das ist die Masse des Wagens und der Batterie zusammen. Die Batterie hat also eine Masse von [math]298\, \rm g - 190,6 \, \rm g \approx 107 g[/math]!

Schaukeltier II

Große Kinder haben eine größere Masse, wodurch sie "langsamer", also mit einer geringeren Frequenz, schwingen!

Schwingmännchen III

Das Männchen bringt 200g auf die Waage und verlängert beim Dranhängen die vorher unbelastete Feder um 40cm.

• Wieso beträgt die Federkonstante (D) gerade 1/20 N/cm = 0,05 N/cm?

Die Gewichtskraft von 200g beträgt ca. 2 Newton:

[math]F_G = m \, g = 0{,}200\,\rm kg \cdot 9,81 \frac{\rm N}{\rm kg} \approx 2\,\rm N[/math]

Die Federkonstante gibt die benötigte Kraft pro Verlängerung an:

[math]D=\frac{\rm Kraft}{\rm Verl\ddot a ngerung}=\frac{2\, \rm N}{40 \,\rm cm}[/math]

• Mit welcher Frequenz wird das Männchen schwingen?

Mit [math]\omega ^2 = \frac{D}{m}[/math] folgt:

[math]f = \frac{1}{2 \, \pi}\sqrt{\frac{D}{m}}= \frac{1}{2 \, \pi} \sqrt{\frac{5\,\rm N/m}{0{,}2\,\rm kg}}\approx 0{,}80 \,\rm Hz [/math]

Es schwingt etwas weniger als einmal pro Sekunde.

Schwingmännchen IV

Dazu muss man die Federhärte vervierfachen, also ein Viertel der Feder benutzen, oder die Masse vierteln.

Schwingmännchen V

Es gilt:	[math]\omega = 2\ \Pi \ f=\sqrt{\frac{D}{m}}[/math]
*die Federkonstante verdoppelt:	Die Frequenz erhöht sich um den Faktor [math]\sqrt{2}[/math].
*die Masse verdoppelt:	Die Frequenz verringert sich um den Faktor [math]\sqrt{2}[/math].
*die Amplitude verdoppelt:	Die Frequenz bleibt gleich!

harmonische Schwingung

Das kann man im Kapitel Die_harmonische_Schwingung lesen.

Energie

Geg:[math]m = 1\,\rm kg[/math]

[math]T = 1\,\rm s[/math]

[math]\hat y = 0{,}01\,\rm m[/math]

Ges: [math]E[/math]

Rechnung: Die maximale Bewegungsenergie ist auch die Gesamtenergie der Schwingung:

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\, m\,\hat v^2[/math]

Die maximale Geschwindigkeit beträgt:

[math]\hat v = \hat y \, \omega = \hat y \, 2\pi f = 0{,}01\, \rm m \cdot 2\pi \cdot 1\,\rm Hz = 0{,}0628\,\rm m/s[/math]

Jetzt noch einsetzen:

[math]E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot 1\,\rm kg \cdot \hat (0{,}0628\,\rm m/s)^2 \approx 0{,}002\,\rm J [/math]

Das ist sehr wenig!